A lapcentrált kockarács, mint a lehető „legsűrűbb elrendezés” vizsgálata
( Itt meg kell jegyeznem, hogy Kepler lapcentrált kockarácsra vonatkozó sejtésére ( tételére ) Thomas Hales, a Michigani Egyetem matematikusa bizonyítást adott 1998-ban. )
( És ezen a lapon Kepler tétele nem azonos a Kepler törvényekkel .)
2008.05.05-én a következő (2007.02.13-i) szöveg törölve:
„Ez az anyag több, mint „hobbi írás”, mivel igyekeztem legjobb tudásom szerint hibátlan levezetéseket adni. Viszont ez az igyekezet is kevés lehet, ha nincs kellően kontrollálva. Ezért bárki, aki találkozik ezzel az anyaggal, olvassa komoly matematikai kritikával !”
Ez az anyag jelenlegi álláspontom szerint hobbi írás, egyébként pedig eldönthetetlen, hogy filozófiai vagy matematikai írás-e. És befejezetlen. Viszont változatlanul az a véleményem, hogy aki olvassa, az tegye azt komoly filozófiai vagy matematikai kritikával. Azt nem tudom, lesz-e folytatása. Ennek éppen az az oka, hogy az egész ebben a formában alkalmatlan arra, hogy komoly bizonyítás része legyen, de van néhány olyan dolog ebben az írásban, amikkel kapcsolatban bármilyen eredményt vagy részeredményt is ostobaságnak tűnik másokkal tudatni, még akkor is, ha ezek az eredmények már régen megvannak publikált formában. (Ha ez önzésnek és féltékenységnek tűnik, akkor megmondom, hogy az is. És egyáltalában nem vagyok jó matekos, nem is kell annak lennem. ) Ez az új bevezető szövegrész 2008. május 3-án készült. Fő oka az, hogy most végeztem először utólagos ellenőrzést a munka egészére, és elvi hibát is találtam benne. Az önellenőrzéses munkamódszert kiforrottan a mém elmélet témában használtam először, ott dátumozott hibajavítások vannak, mivel ez itt korábbi írás, még nem volt a hibajavításokra jó módszerem, és elmaradt az utólagos átfogó hibaellenőrzés is. (Első blattra jót akartam feltenni, de az nem sikerült, később a csak a problémásnak tűnő részekkel foglalkoztam.)
És ez a 2008.05.06-i folytatása :
A sűrűség számomra alapvető fogalom, valamikor beépült a gondolkodásomba, kitörölhetetlenül, éppen úgy mint az idő. Én csak a materialista filozófiát tartom igazi filozófiának, de azzal az a gond, hogy alapjaiban dönti romokba az idealista „álmokat”, a természettudományokkal és matematikával kapcsolatos „álmokat” is. Pedig álmokra szükség van. Nem jó arra „felébredni”, hogy fogalmaim alkalmazhatóságának határai vannak, nem „tökéletes” fogalmak, és a maguk tökéletességében létező fogalmak, amelyek az emberi kultúrától függetlenül léteznek, és amelyek felé az ember kultúra folytonos tökéletesedésével törekszik, csak álomképek. De csak az idealista álmok vezetnek engem oda, hogy olyanokat leírjak, gondom van a térfogattal és az idővel. Egyébként nem hiszem, hogy sokkal több gond van velük, mint az emberi gondolkodás bármelyik más fogalmával. Van amire alkalmazhatóak, van amire nem és kész. A térfogat és azzal definiált sűrűség olyan fogalmak, amiket - legalábbis a műszaki tudományokban - feltehetően használhatóságuk miatt és feltehetően egyezményes alapon, „többségi” akarattal alkalmaznak a gyakorlatban. A fizikai valójukban létező „makro” méretű tárgyaknak ill. alakzatoknak szigorúan nézve nincs sem térfogatuk, sem térfogattal definiálható sűrűségük. Viszont a valós állapotot jól közelítő modellekben kiválóan alkalmazható a térfogat, a terület és az azokkal definiált sűrűség. És éppen a modellalkotás teszi lehetővé valós jelenségek matematikai leírását. A sűrűség fogalma olyan fogalom, aminek én (1) csak egyezményesen elfogadott matematikai megfelelőjét ismerem, és az a térfogattal vagy területtel definiált sűrűség. Meglehet, hogy a sűrűség fogalmára van más, jobb matematikai fogalom, én olyat nem ismerek. És a sűrűség vagy leírható egyszerű matematikával, vagy nem. És az én nézetem szerint : az a furcsa, hogyha mégis egyszerű matematika kell oda, akkor az emberi gondolkodást kell formálni az új matematikához.
Hasonló - a nézetem szerint idealista - dilemma a jelennel. Nem kell nagy filozófusnak lenni ahhoz, hogy bárki rájöjjön arra, „bizonyos értelemben” (2) jobb csak jelenről beszélni. Az nem egy végtelenül kicsi pont az időtengelyen, hanem észlelési ciklusaink által meghatározott időintervallum. Valójában egy folyamat. Inkább „kreált fogalom” az absztrakt (2) múlt és a jövő. De ha már „megcsináltuk” a múltat és a jövőt, elég csinálni hozzá egy időtengelyt, és a végén olyanokat mondanak és írnak le még szakemberek is, hogy talán lehetséges időutazás a jövőbe, vagy hogy szigorúan filozófiai szempontból „gond van” a differenciálszámítással, csak még szerencse, hogy sok mindenre alkalmas, anélkül talán nem is lett volna ipari forradalom, sem űrkutatás, és így tovább.
(1) : 2008. 05. 19-én itt törölve egy „csak” (két „csak” szó szerepelt egymás után a szövegben)
(2) : 2008. 05. 19-i javítások. Az idő nem témája ennek az írásnak, ezért csak annyi megjegyzést teszek, hogy több használható időfogalmat ismerek, és a múlt-jelen „kettős” vagy a múlt-jelen-jövő „hármas” egyszerre fejlődhet kezdetben (most fogalmakról van szó!), később kialakulhat az absztrakt időfogalom és azzal szoros összefüggésben valamiféle absztrakt múlt és jövő fogalmak, ezzel az „absztrakt hármassal” lehet gond. (És a legvégén védeni kell a jelent, mert valaki a fals absztrakt fogalmai miatt ostobaságokat művel.) A fizikában közel száz éve megjelent a téridő fogalma (magamfajta laikus úgy tudja, hogy Einsteinnel jött be, minden esetre az tény, hogy a speciális relativitáselmélet valamiféle „csapatmunka” eredménye). Az absztrakt - vagy inkább „technikai” - időfogalmat fizikusok biztosan használják, van olyan sejtésem, hogy néha tévesen, de ezekhez én nem értek, hibát találni vagy valamire rácáfolni pedig sokkal könnyebb, mint valamit kidolgozni. (És egy csupán „technikai segédeszközként” használt időfogalom támadhatatlan, laikusnak azzal semmi dolga.) A newtoni fizikában az idő egy kereskedősegédnek talán lehetett „szellemi vívmány”, olyan absztrakcióval előálló „önmagában” létező valami, amihez valamiféleképpen a „valós” fizikai jelenségek igazodnak, az „elvont idő magától múlik” és a valós folyamatok azzal összevethetőek. De nehezen védhető állítás, hogy egy fizikusnak az idő éppen a newtoni fizikában más vagy „több” volt, mint segédeszköz. A newtoni fizika közel száz éve túlhaladottá vált, azzal az absztrakt időfogalommal együtt, ami amúgy is csak kívülállónak létezhetett a XIX. században, de egy fizikusnak az csak egy absztrakcióval kreált fogalom lehetett, amire éppen a fizikában nem is volt szüksége. (A newtoni fizikában az idő kiiktatható és behelyettesíthető egy referencia sebességgel /referencia folyamattal/. És a gyakorlatban pontosan ezt tesszük ma is, mert csak ez tehető. - Erre én is gimnazista koromban jöttem rá, feltehetően sokan mások is. - A számítások viszont egyszerűbbek az „idővel”, ami ott egy technikai okból használt paraméter, ha nagyon „gonosz” akar valaki lenni, mondhatja, hogy az csak egy „t” betű.)
És mindenek előtt, ne feledkezzen meg arról, hogy az anyag egy kísérlet a részemről. Az I., II., III., IV. számú fejezetekben és az V. fejezet egyes részeiben bizonyos ókori matematikai alapokról indulva egy levezetési utat találni, korábbi eredmények kutatása és ismerete nélkül ! ( Amolyan „időutazás” a múltba. )
Az írásban vannak máshonnan ( másoktól ) származó ötletek, ezek azért épülhettek bele a munkába, mert annak belső logikája szerint nekem is el kellett oda jutnom.
Kifejezetten ilyen az a magyarázó kiegészítés, amelyik az I. fejezetben található „( Valójában nem teljes bizonyítás, mivel a gömbök elhelyezkedésére van egy „egyéb kitétel” ( feltétel ) benne : álljon olyan gömbrétegekből, amelyek mindegyikében a gömbök középpontjai egy-egy síkra illeszkednek. )” , ezt emlékeim szerint a Petőfi rádió egyik munkatársa említette egy rádióműsorban. Az előbbi kiegészítés előtti mondatokban nem adok indoklást, mert a nem teljes, hanem csak részleges bizonyítás tényét eléggé nyilvánvalónak tartottam erre az esetre : „Ez elegendő bizonyítéknak tűnik, „józan paraszti ésszel” gondolkodva. Csakhogy ez a levezetés már 1892-ben megszületett volna, ha matematikai szempontból elégséges bizonyítást jelent.”
Hasonlóan a fentiekhez, Sas József igazgató úr szilveszteri műsorában az előadás mellett éppen a Kepler sejtéssel foglalkozott, ott elhangzott a részéről egy olyan megjegyzés, hogy „mert nincs olyan térfogat”. A munka belső logikája miatt éppen akkor jutottam oda én is, mert Karácsony körül a „csomagolástechnikával” előállított térfogatra vonatkozó „részleges térfogatos levezetésbe” vetett reményeim szerte foszlottak, és irányt kellett váltanom. ( Rossz volt az alapötletem. De még szerencse, hogy nem az első napokban vettem ezt észre, mert akkor neki sem vágtam volna az írásnak. Később ez a rossz alapötlet vitt tovább a „jó irányba”. A munka nagy része „először gondolkodni, utána írva dolgozni” alapon ment. ) A lapcentrált kockarács „térfogatos sűrűségének” értelmezhetetlenségére vonatkozó levezetést ezután, Január 1 – 2-án írtam meg. ( Viszont nincs ebben semmi rendkívüli, mert például a Dr. Hajdu Sándor főiskolai docens által szerkesztett 6. osztályos Matematika B tankönyv Kislexikonjának B94 oldalán ez áll a Térfogatmérésnél: „Bizonyos testeknek értelmezhetjük a térfogatát, most csak ilyen testekre gondolunk.” Tehát ez alapismeret napjainkban, viszont egy ókori diáktól, aki igazi mesternél tanult, szerintem elvárható, hogy csak levezetésen /indokláson/ keresztül jusson ehhez az ismerethez, amit vagy olvasott, vagy előadáson ismert meg, vagy maga adta meg a szükséges levezetést. Nem „bizalmi” alapon !)
A munka egészében véve befejezetlen, éppen az V. fejezetnél fogytak el a szellemi teljesítőképességem tartalékai. Látszott, hogy hosszabb erőgyűjtés kellene a folytatáshoz, de közel egy hónapi munka után ez a „vereség beismerését” jelentette.
Manapság programozásban és CAD-ezésben próbálok fejlődni, nem beszélve a kenyérkereső munkáról, ezért a magamnak adott „határidőket” ebben a témában már nem veszem komolyan. Mivel az „agyam egészét” kellene egy ilyen feladatra állítanom. És ez igen veszélyes „attrakció”, annak idején azért kellett leállnom, mert már jöttek az első észlelési zavarok.
De, ha adhatok egy tanácsot : Bárki, aki másoktól reméli, hogy egy matematikai levezetésről majd megmondja, hogy jó-e, vagy sem, inkább ne olvassa el ezt az írást. A többes szám első személy csak valamiféle együttgondolkodásra bíztat, de nem kritika nélküli olvasásra !
2007. október 29.
Bevezetés
Az itt álló megjegyzés 2007. november 01-én törölve.
Ez a szövegrész 2007. február 24-i betoldás (színe zöld). A végtelen fogalmával kapcsolatban ki kell egészítenem a szöveget ezzel a megjegyzéssel. Euklidész Elemek I. című tankönyvének 23. definíciója alapján feltehető, hogy ismerték és használták akkoriban a végtelen fogalmát. ( Ez mindenképpen absztrakt fogalom. ) Az általam említett teljes szöveg ez : „23. Párhuzamosak azok az egyenesek, amelyek ugyanabban a síkban vannak és mindkétoldalt végtelenül meghosszabbítva egyiken sem találkoznak.” A „mindkét oldalán végtelenül meghosszabbított egyenes” kifejezés megfeleltethető a „végtelen egyenes” kifejezésnek. A „végtelen egyenes” kifejezés jelentheti azt, amit szó szerint érthetek alatta : olyan egyenes, aminek nincsenek végei. Így a végtelen fogalma „egy absztrakciós lépésben” előállítható. Hasonlóan, a „végtelen sík” kifejezés pontosan az lehet, amit szó szerint jelent : olyan sík, aminek nincsenek határai. Ezek a fogalmak „statikus” állapothoz kapcsolhatók, az alakzat tulajdonságai állandóak, nem változnak. A 23. definíció igét használ, „meghosszabbítást” említ, ez vezetett engem arra, hogy lehetséges egy másik értelmezés is, mert folyamatra utalhat. Mai értelemben ez a végtelen határértékű sorozatok vagy végtelen határértékű növekvő mennyiségek fogalma lenne. ( Vagy olyan /konvergens/ sorozatok fogalma, amelyek végest közelítenek – például olyan véges felületek sorozata, amely egy másik véges felületet közelít - végtelen sok lépésben. ) Ehhez a megfogalmazáshoz a végtelen fogalma és esetleg a sorozatok fogalma is szükséges. Csakhogy a végtelen fogalma nem szükségszerűen adódik, végtelen nélkül is tökéletesen kezelhető a kérdés. Ekkor beszélhetek például olyan változó mennyiségről, amelynek értéke minden határon túl növekszik. Például egy egyenes vonal hossza minden határon túl növelhető. Ez nem a végtelen absztrakt fogalma, mert ott az egyenes hossza már „előállt” vagy „elő lett állítva”, és ez a hossz a végtelen. Pusztán az Elemek I. alapján azt is gondolhatnám, hogy a mű keletkezése idején a végtelen fogalma még nem volt gyakorta használatos. Olyan megfogalmazás, hogy a végtelen egyenes végei a végtelenben vannak, számomra elgondolkodtató, én ilyen megfogalmazást nem használok.
Innen egy szövegrészt 2007. november 01-én töröltem.
Számoknál lehetne mondani olyat, hogy nem véges számú, vagy nem megszámolhatóan sok (megszámlálhatatlanul sok). Vagy számokból képzett sorozat elemeinek száma minden határon túl növelhető. Ilyen kifejezéseket én használok, mivel a célom az, hogy egy ókori tanítvány fejével tudjak gondolkodni.
Az I. .. IV. pontokban van olyan megfogalmazás, ami a fentieknek megfelelően kerüli a végtelen fogalmát, mert nem szükségszerű a végtelen fogalmának használata. Ezek a szövegrészek ugyanilyen zöld színűek. Az ezekkel összefüggő, végtelen fogalmát tartalmazó vagy arra utaló szövegrészeket átfogalmaztam, színük szintén ilyen zöld színű . A posztulátumoknál visszatérek erre kérdésre, az a mondat is ilyen zöld színű.
Az itt álló szövegrészt 2007. november 01-én töröltem. Annyi megjegyzést teszek ezzel kapcsolatban, hogy az V. pont egy „nem teljes értékű bizonyítás” részleges levezetésének indult (vagyis nem a Kepler tétel /Kepler sejtés/, hanem egy abból „egyéb kitételekkel” kreált térfogatos tétel bizonyításának indult) és egy tétel megfogalmazása az egyetlen eredménye, bizonyítás nélkül. Viszont az mondható egy „igazi Kepler tételnek”, szorosan összefügg a „Kepler sejtéssel”. Kifejezetten igaznak gondolom a tételt, de nem tudom, van-e rá bizonyítás. További „eredmény” két kapcsolódó tétel megfogalmazása, azok igaznak tűnnek. Ha igaz tételek, meglehet, hogy ismert és bizonyított tételek, ennek én nem néztem utána. Bizonyításukkal még nem próbálkoztam.
A princípiumokkal kapcsolatban az Ókori megközelítést tartom irányadónak és sehol sem használok olyan levezetést, amelyik nem létezhetett akár már az Ókorban is. Nem néztem utána már létező eredményeknek illetve levezetéseknek, mivel ha nem követek el hibát, legjobb esetben alkalmazom a már korábban elért eredményeket. Ha „dolgozatom” nem tartalmaz alapvető elvi hibát, akkor a fentiek alapján mondható, hogy hasonló levezetést adhattak már több, mint kétezer évvel ezelőtt is. December elején beleolvastam Euklidész Elemek I. könyvébe. Az alapján a következők láthatóak:
1. A definíciók fogalmakat ( alapfogalmakat ) határoznak meg.
2. Az axiómák más igazságokból ( más igazságból ) illetve egymásból le nem vezethető alapigazságok, tehát nevezhetők a jó gondolkodás alapelemeinek vagy legkisebb lépéseinek. ( Szabó Árpád az Elemek fordításhoz írt Előszavában utal Arisztotelész axiómákkal kapcsolatos nézetére : „... az axiómák olyan állítások, amelyeknek igaz voltát „józaneszű ember nem vonhatja kétségbe”. ”. Én elfogadom Arisztotelész axiómákkal kapcsolatos nézetét. )
Euklidész csak a tételeiben felhasznált axiómákat adja meg, célja ezzel feltehetően az oktatás és – Szabó Árpád előbb említett előszava szerint – szintetikus, princípiumokra és már bizonyított tételekre épülő matematikai bizonyítás.
Tehát fölösleges minden bizonyításnál az axiómákból kiindulni, mert ha egy bizonyítás hamis, szükségképpen nem axiómákra épül, az ebből adódó bonyodalmak viszont elkerülhetőek, ha az adott tétel bizonyításakor minden felhasznált axióma előre fel vannak sorolva és indokláskor ezekre az axiómákra hivatkoznak. Euklidész talán ezért sorolja fel a tételeiben használt axiómákat. (Különben csak annyit lehetne biztosan tudni, hogy a tanuló vagy a vitapartner tudja-e cáfolni az érvelést vagy nem.)
Viszont nem feltétlenül szükséges azzal foglalkozni, hogy a matematikai gondolkodás vagy általánosságban a gondolkodás pontosan hány axiómát használ és lehetséges-e teljes listát adni ezekre. ( Én ezért axiómákat nem fogalmazok meg és nem sorolom fel azokat. )
3. A posztulátum olyan egyoldalúan megfogalmazott követelmény, amelyiknek jó esetben célja csupán a fogalmak tisztázása (kiterjesztése) . Mivel Euklidész elméleti szerkesztést végez, például az egyenes vonalak és a körök másképp viselkedhetnek, mint szerkesztő eszközökkel végzett valóságos szerkesztésnél. Ugyanez igaz a pontokra is. Ezek a fogalmak alkalmatlanok lehetnek bármilyen elméleti mértanhoz, ha nincsenek világossá téve elvárt tulajdonságaik posztulátumok segítségével. Láthatóan a definíciókkal meghatározott fogalmai a gyakorlatban alkalmazott szerkesztési feladatokból és gyakorlati szakmák matematikájából származnak. Például egy bőrtömlő felülete nem lehetett érthetetlen fogalom senki számára sem az Ókorban. Az sem lehetett szokatlan, hogy ennek a felületnek – a tömlő száján kívül is - lehetnek határai, ha a tömlőt elvágom. Ekkor felületének határai vonalak. Éppen ezért volt fontos külön definiálni egyenes vonalakat, egyenes szárú szögeket és síkfelületeket. A vonalak, szögek és felületek fogalma jóval tágabb volt, hiszen a gyakorlati szakmákból jöhettek. Feltűnő, hogy miért adta meg a 4. posztulátumot ? Lehetséges például, hogy az Ókori Görögországban egyesek mást értettek szögek alatt, mint mások. Ha például bármilyen felületre illeszkedő két egymást metsző vonal szögeket alkothat, akkor azok a vonalak lehetnek a három dimenziós tér mindegyik irányába „görbülő”, „kanyargó” vagy „cikázó” vonalak is. Ha így van, akkor derékszög lehet pl. egy adott gömbfelületen is, de az nem azonos a síkbeli derékszögekkel. Ha két egymást metsző vonal szögét mindig valamilyen felülethez kötöm, akkor két egymást metsző egyenes szögén sokféle szöget érthetek, mivel nem csak az általuk ( az egyenesek által ) meghatározott sík felületek vehetők figyelembe, hanem bármilyen felület, amelyikre illeszkedik a két egymást metsző egyenes. Ebben az értelmezésemben – ha helytálló ez az értelmezés ! - a 4. posztulátum azt tisztázná, hogy a továbbiakban mit ért majd derékszög alatt.*(!) Visszatérve a fogalmakhoz: Az egyenes ma használatos fogalmába beleépül a végtelen fogalma vagy a végtelen követelménye. Euklidésznél egyenes vonal egy olyan véges kiterjedésű egyenes vonal, amelyre megfogalmazható olyan követelmény (posztulátum), hogy meghosszabbítható – ekkor nyilvánvalóan meghosszabbítható akárhányszor. Ez a követelmény a végtelenség követelménye (posztulátuma). ( Viszont a 23. definíció mindkét végén végtelenül meghosszabbított egyenesekről szól, ezért mondható, hogy végtelen kiterjedésű alakzatot már definiál, de még posztulátumokat használ. )
*(!)
Vigyázat ! Szándékosan nem akartam túlmagyarázni a dolgot, és nagyon megtetszett nekem a feltevésem a felületekről, ezért csak azt írtam le.
Egyébként láthatóan annyi az egész, hogy a gyakorlatban használatos derékszögek között lehet elvi különbség. Ha nincs, akkor azok tökéletes derékszögek. A tökéletes derékszögek egymással egyenlőek.
( Az én indoklásom szerint : Mert ezek mind egyenlőek egymással, de
- ha bármelyik kettő is közülük nem ad ki egy egyenest akkor, ha egy síkon vannak, csúcsaik és egy-egy oldaluk illeszkedik egymással
- és ha bármelyik négy is közülük nem illeszthető egymáshoz úgy, hogy egy síkon vannak, csúcsaik egy pontban illeszkednek és oldalaik rendre illeszkednek egymással,
akkor nem lehetnek derékszögek. Viszont derékszögek. Tehát olyan derékszögek, amelyek szöge a tökéletes derékszög. ) Ez az egész olyan, mintha olyanokat oktatna, akik még nem ismerik az absztrakcióval „előállított” derékszög fogalmát.
( Derékszögeket használnak manapság is, például építőiparban, lakatos, lemezlakatos szakmákban, stb. Nekem pár hete villanyszerelés közben megtette egy papírdoboz letépett fedele is. A derékszög az egy derékszögű szerkesztőeszköz !) „Tudományos igazolás” - nyelvészeti igazolás az ógörög nyelv alapján - persze nem árt az előbbiekhez, ha még ilyen nincs, csak éppen a Posztulátumok első négy pontja teljesen megfeleltethető a szerkesztőeszközökkel végzett szerkesztésekből származó szempontoknak. Ez már az igazolás döntő lépése, és nem bizonyít senki semmit sem, ha nem tudja, mit hogyan mondtak akkoriban egyes szakmákban. És egy oktatással foglalkozó matematikus hogyan akarhat megértetni kezdőkkel új fogalmakat ? Különösen gyermekekkel ! (És mekkora feladvány lenne egy tankönyv posztulátumainak eredete akkor, ha „FAQ” azaz gyakran feltett kérdések alapján lennének összeállítva ?)
/ Ez itt 2007 november 01-i megjegyzés. /
Az itt következő bevezetést 2007 november 01-én töröltem.
Egyébként egyszerűen át kellett volna ugrani, mert tényleg eléggé zavaros !
Csak az volt a lényeges az egészben, hogy a tétel megfogalmazásán túl egyéb feltétel megkövetelésével vagy megadásával új tétel áll elő, és annak bizonyítása már nem az eredeti tétel teljes értékű bizonyítása. (Egyáltalában nem annak a bizonyítása, még csak részben sem, de ha az túl nagy falat, lehet próbálkozni egy majdnem ugyanolyannal, hátha az könnyebb.) Az ilyen egyéb feltétellel előálló bizonyítást „részleges bizonyításnak” vagy „nem teljes körű bizonyításnak” nevezem majd. (Holott ez nem az eredeti tétel részleges bizonyítása !) Az „egyéb feltétel” helyett viszont az „egyéb kitételek” kifejezést használom mindenhol.
/ 2007 november 01. /
Teljes körű (tiszta) bizonyítás alatt olyan bizonyítást értek, amelyik nem használ „egyéb kitételeket”.
Bármi, amit az alábbiakban leírok, szabadon felhasználható, részleteiben és teljes egészében. Hibái kimutathatóak, ha vannak ilyenek és a levezetés részeiben vagy egészében cáfolható, ha részben vagy egészben rossz bizonyítás. A levezetéseken túl tartalmaznak az alábbiak nem szorosan a témával foglalkozó részeket, ezeket kék betűszínnel jelölöm és olvasáskor „átugorhatóak”.
Egy kis eszmefuttatás a lapcentrált kockarácsról
2006. november 24-én kezdtem el írni jelen „dolgozatomat”. ( Ez a kis kitérő aznap született. ) Előző napon fejeztem be Simon Singh-től „A nagy Fermat sejtés” című könyv olvasását. ( A magyar nyelvű második kiadásét. )
Nagyon jó könyv, mindenkinek ajánlom, aki még nem olvasta. A könyv végén említ egy 1611-ből, Keplertől származó megállapítást ami a lapcentrált kockarácsra vonatkozik, miszerint is ez a létező „legsűrűbb elrendezés” pl. azonos méretű gömbökre. Ahogy a könyv szerzője idézi C. A. Rogers matematikust, a gömbelhelyezés angol szakértőjét : „Kepler állítása olyan állítás, amelyet a legtöbb matematikus elhisz és minden fizikus tud.”
A mű eredeti nyelvű kiadásának idején (1997.) még nem volt minden matematikus által elfogadottan hibátlan bizonyítás Kepler fenti állítására, legalábbis a szerző állítása alapján ez mondható.
Az itt következő kék betűs szöveg egyes részeit 2007. november 01-én töröltem.
Véleményem szerint a csiszolt kőkorszak óta a földi kultúra fejlődése összességében folyamatos, kellő történelmi távlatból ( mondjuk 100 ezer és távlatából ) tekintve az elmúlt 8-10 ezer év lehet egyetlen korszak.
Mi történne, ha létezne időgép, és vissza tudnék utazni az ókori Európába. / i. e. IV.- V. századba / (Persze nem ártana tudnom valamelyik akkor elterjedt kelta, esetleg latin vagy ógörög nyelvet.) Ha mondjuk kiskereskedő mellett dolgoznék, aki a piacra viszi portékáját vagy felvásárolt terményeit, és arról próbálnám meggyőzni, hogy a legjobb elrendezés azonos nagyságú narancsokra azok tetraéderes elrendezése, de ennek belátása szellemi csúcsteljesítmény, megeshetne, hogy azonnal fenéken billentene, lóduljak vagy kotródjak, amit most előadok még egy nyolc éves gyerek is tudja, de én még ahhoz is hülye vagyok, hogy egy tízéves kecskepásztor mellé elszegődjek segédnek, nem hogy „szellemi csúcsteljesítmény”!
I. Négy azonos méretű gömb „lehető legsűrűbb elrendezése”
2008.05.05-i megjegyzés :
Vigyázat ! Az I. fejezet levezetése elég meggyőzőnek látszik. Viszont az V. fejezetben gond támad a közelség módszerével. Az V. fejezet alapján nem tisztán a közelség követelményéről van szó, vagy ha igen, nem tudom, hogyan értelmezzem és alkalmazzam. Hanem azon túl az alakzatok továbbépíthetőségéről, bejön a képbe a „szabadsági fokok” elve. És ráadásul hasznosnak bizonyul a térfogat, holott az a II. fejezetben elég szépen ki van végezve.
Tehát már az Ókor óta ismert tény, hogy négy azonos méretű gömb lehető „legtömörebb” elrendezése a négy gömb tetraéderes elrendezése lenne. Azért a feltételes mód, mert ha nincs definiálva a „legsűrűbb elrendezés” avagy „tömörség” fogalma, nem lehet ezen fogalmakra vonatkozó bizonyításról beszélni.
Ennek ellenére „tömörségre” vagy „sűrűségre” vonatkozó definíció nélkül is kezelhető a probléma, mivel megfogalmazhatunk egy olyan kritériumot, hogy legyen a négy azonos méretű gömb mindegyike a lehető legközelebb a másik háromhoz. A levezetés akár az Ókor óta létezhet, talán éppen ebben a formában.
Legyen a gömbök mindegyike G betűvel jelölve. A G gömböket „tömörnek” feltételezzük, tehát kikötésünk szerint nem metszhetik egymást. Középpontjaikat jelöljük P-vel. A négy gömb indexelve : G1 (P1 középponttal) , G2 (P2 középponttal) , G3 (P3 középponttal) , G4 (P4 középponttal)
A gömbök átmérője legyen D.
Észrevehető, hogy bármely két P pont ( pl. P1 és P2 ) egymáshoz nem helyezhető közelebb, mint D távolságra, azaz P1P2 > D vagy P1P2 = D. Ennek oka az, hogy a gömbök nem metszhetik egymást. Ha éppen érintik egymást, azt egy pontban tehetik, az az érintési pont a P1P2 szakaszt éppen felezi, és ekkor a P1P2 szakasz éppen egyenlő D-vel. ( P1P2 = D ) Ennek oka az, hogy mivel a G gömbök sugara D fele ( D/2), ezért a G1, G2 gömbpár érintik egymást P1P2 felezőpontjában, de nem érintik egymást más pontokban, mivel derékszögű háromszögek segítségével belátható, hogy a P1P2 felezőpontjában egymást érintő P1 és P2 középpontú D átmérőjű gömbök csak egy pontban, P1P2 felezőpontjában érintik azt a síkot, amelyik a P1P2 felezőpontján áthalad és P1P2-re merőleges.
Tegyük fel, hogy sikerült elhelyezni a négy gömböt úgy, hogy azok mindegyike érinti a másik három gömböt. Ekkor az előbbiek alapján P középpontjaik távolságai ( P1P2, P1P3, P1P4, P2P3, P2P4, P3P4 ) éppen D -vel egyenlőek.
Valóban létezhet-e egy ilyen elképzelt elrendezés ? Igen, mert a P1P2P3, P1P3P4, P1P4P2, P2P3P4 háromszögek mindegyike egyenlő oldalú háromszög, mivel mindegyik oldaluk egyenlő D-vel. Így a P1P2P3P4 térbeli idom egy létező idom, mégpedig egy szabályos tetraéder, mivel négy egybevágó ( egymással egyenlő ) egyenlő oldalú háromszög határolja.
Vizsgáljuk ennek a tetraédernek a tulajdonságait, feltéve, hogy a G gömbök nem tömörek, tehát akár metszhetik is egymást, ha egymáshoz képesti helyzetük azt megengedi :
A fentebbiek alapján a G gömbök sugara D fele ( D/2), egy-egy gömbpár ( pl. G1,G2 ) érintik egymást a tetraéder egy élének felezőpontjában ( ez G1,G2 esetén P1P2 felezőpontja ), de nem érintik egymást más pontokban. Ugyanez belátható a másik öt gömbpárra.
A négy gömb olyan gömbpárokból áll, melyekben a gömbök érintési pontjára illeszkedő, a gömbpár gömbjeinek középpontjait összekötő szakaszra merőleges sík nem metszi a gömbpár gömbjeit, ezért lehetetlen, hogy a gömbök a /szabályos/ tetraéder belsejében metsszék egymást. (Hiszen a hat gömbpár bármelyikére igaz, hogy gömbjei nem metszik egymást.)
Az előbbi ilyen színű betűs rész 2008.05.05-i javítás, az eredeti szöveg ez volt :
„Minden egyes G gömbre állítható három olyan érintő sík, amelyeket a másik három G gömb csak érint, de nem metsz, ezért lehetetlen, hogy a gömbök metsszék egymást ( pl. a tetraéder belsejében ).” Fentebb a tetraéder elé beillesztve a „szabályos” szó.
A továbbiakban a 2008.05.05-én feltett javítások ill. változtatások ilyen színű betűkkel kerülnek a szövegbe. (De nincs nagy jelentősége annak, hogy a szöveg egésze egységes és „sallangmentes” legyen. Egyes részeket ki lehetne hagyni vagy át lehetne írni, de ezt fölösleges munkának érzem.) Csak a hibás részeket írom át, vagy cserélem. Lentebb van egy csere : élei helyett „ csúcsai”.
Tehát van egy alakzatunk, melyben a négy G gömb középpontja éppen D távolságra vannak egymástól. Ennél kisebb pedig a P1P2, P1P3, P1P4, P2P3, P2P4, P3P4 szakaszok egyike sem lehet feltételünk szerint, tehát a tetraéderes elrendezéssel teljesítettük az a kritériumot, hogy a négy G gömb mindegyike a lehető legközelebb legyen a másik háromhoz.
A következő szövegrészben több ilyen színű mondarész 2008.05.05-i betoldás.
Az eddigiek alapján máris látszik a bizonyítás egy lehetséges iránya, amire mindenki könnyen rájöhet : ha megmutatjuk, hogy a lapcentrált kockarácsos szerkezetű, azonos méretű gömbökből álló alakzatban létezhet két olyan szomszédos gömbökből álló réteg, amelynek gömbjeinek középpontjai két egymással párhuzamos sík valamelyikére illeszkednek ( ez megmutatható ), akkor ezen gömbök középpontjai olyan tetraéderek csúcsain helyezkednek el, amelyeknek egyes csúcsai illeszkednek egymásra ( a két sík között egy meghatározható tartományt töltenek ki, de közöttük térközök vannak – ezek a térközök D oldalú négyzet alapú gúlákon belüli tartományok, D egy gömb átmérője – valójában ezek felbonthatóak egymást határoló háromszög alapú gúlákra, melyek alapja D oldalú egyenlő oldalú háromszög). Erre az útra nyilván sokan rájöttek, és kezdetben azt hihették, hogy gyerekjáték innen a bizonyítás. ( Ez alapján már évszázadok óta lenne jó bizonyítás !)
A fentiek alapján tehetünk egy kis kitérőt : A négy gömbből álló tetraéder alakzatok meglétén túl más is észrevehető. A későbbiekben lesz szó Axel Thue svéd matematikus 1892-ben elért eredményéről : azonos méretű gömbökből álló egyrétegű lapcentrált kockarács elrendezésről ( ahol a gömbök középpontjai egy síkra illeszkednek és az elrendezés „hézagmentes” ) bebizonyította, hogy az a lehetséges legsűrűbb egyrétegű elrendezés. Egy ilyen egyrétegű elrendezésben a gömbök középpontjai egyenlő oldalú háromszögek csúcsain helyezkednek el. ( Hagyományos megfogalmazás szerint hatszögletes elrendezést mutatnak, mert minden egyes gömböt hat másik vesz körül hatszög alakzatban. ) Minden „hézagmentes” lapcentrált kockarács alakzat ilyen rétegekre bontható. ( Legfeljebb négy, de legalább egy olyan sík található, amely(ek) valamelyikével párhuzamos síkra illeszkedő középpontú gömbök találhatóak az alakzaton belül, és ezen gömbök egyrétegű lapcentrált kockarácsos alakzatot alkotnak. Négy csak akkor, ha az alakzat következetesen úgy épül fel, hogy mind a négy ilyen sík „megmaradjon”. Az ilyen „gömbrétegek” alkotják az alakzat egy-egy rétegét. „Hézagmentes” lapcentrált kockarács alakzat alatt itt és a továbbiakban is olyan alakzatot értek, amelynek külső gömbjei – a szélein elhelyezkedő gömbjei - által határolt belső tartományaiban nincsenek olyan helyek, ahová még lehetne a többivel azonos méretű gömböt helyezni. ) Az ilyen rétegekről látható, hogy a lehető legközelebb helyezkednek el egymáshoz képest - az egymással szomszédos rétegek. ( Mivel egy A-val jelölt tetszőlegesen kiválasztott réteggel szomszédos C jelű réteg gömbjei egy-egy fentebbihez hasonló tetraéder alakzatok negyedik gömbjeit alkotják, ha az adott tetraéder alakzat másik három gömbje az A réteg három egymást érintő gömbje. Ha feltesszük, hogy a vizsgált lapcentrált kockarács elrendezésű alakzatnak nincsenek határai, akkor a fenti levezetés szerint a C réteg ezen gömbjeinek mindegyike a lehető közelebb áll az A jelű réteg most említett egy-egy gömbhármasához, ezért A és C réteg a lehető legközelebb van egymáshoz. (Valójában a „végtelen kiterjedésű rétegek” ilyen alkalmazása helyett lépések „vég nélküli” sorozatát is használhatom, ekkor véges rétegeket tudok vizsgálni, de a tetraéderek építésével egy-egy lépéssel mindig „kijjebb tolom” a rétegek határait, ezen lépések száma minden határon túl növelhető.) Véges kiterjedésű rétegek esetén bármilyen elrendezésre lehetnek olyan gömbjei C rétegnek – a szélein – amelyek nem alkothatnak tetraéder alakzatot A réteg három gömbjével. De ezen gömbök olyan egymást érintő három gömb egyike lehetnek, amelyek tetraéder alakzatot alkothatnak A réteg egy gömbjével.) Ez minden szomszédos és egymással párhuzamos rétegre igaz, mivel A réteget tetszőlegesen választjuk ki a rétegek közül. A rétegekről Axel Thue matematikus bizonyítása elmondja, hogy a lehető „legsűrűbb” egyrétegű alakzatok. A szomszédos egymással párhuzamos rétegek pedig az előbbiek szerint a lehető legközelebb helyezkednek el egymáshoz képest az alakzaton belül, az I. pont közelségi követelménye szerint. Ez elegendő bizonyítéknak tűnik, „józan paraszti ésszel” gondolkodva. Csakhogy ez a levezetés már 1892-ben megszületett volna, ha matematikai szempontból elégséges bizonyítást jelent. ( Valójában nem teljes bizonyítás, mivel a gömbök elhelyezkedésére van egy „egyéb kitétel” ( feltétel ) benne : álljon olyan gömbrétegekből, amelyek mindegyikében a gömbök középpontjai egy-egy síkra illeszkednek. ) Egyébként, mint a későbbiekben említem, a lapcentrált kockarács elrendezés „gömbszerű” résztartományokra bontható. ( A fenti rétegek számtalanféle elrendezésben illeszkedhetnek egymáshoz, mivel három egymást követő réteg - egy réteg és a vele szomszédos és vele párhuzamos két másik réteg - többféle módon állhat egymáshoz képest. ) Ha a „hézagmentes” lapcentrált kockarácsos alakzat elegendően nagy ( legalább három egymással párhuzamos rétegből áll ), akkor találhatóak benne olyan gömbök, amelyeket tizenkét másik gömb vesz körül. Egy ilyen gömb a vele szomszédos tizenkét gömbbel fentebbi levezetés szerinti tetraéder alakzatokat alkot, tehát olyan tetraéder alakzatokat, amelyek mindegyikében a gömbök a lehető legközelebb állnak egymáshoz. (A gömbök középpontjai nyolc D oldalú tetraédert és hat D oldalú négyzet alapú gúlát határoznak meg benne.) A „tömörségre” később adok egy definíciót.
II. Közelség, térközök, „sűrűség” és „tömörség”
A közelség
Megjegyzés a címmel kapcsolatban : Kepler tétele valójában számtalanféle egymáshoz közel álló probléma gyűjtőneve lehet, mivel Simon Singh könyve is kétféle megfogalmazást közöl. A lehető legáltalánosabb érvényű megfogalmazás lehet ez : a lapcentrált kockarács elrendezés a létező legsűrűbb elrendezés. Kepler ismerhette vagy felismerhette a térbeli alakzatok határaival kapcsolatos nehézségeket, ezért nincs okom azt feltételezni, hogy kizárólag „térfogatos sűrűség” az a fogalom, amit használ. A legtöbb nyelv vélhetően ismeri a sűrűség fogalmát, anélkül, hogy területre ( illetve egységnyi területre), térfogatra ( illetve egységnyi térfogatra ) vonatkoztatná.
Az I. pont alapján látszik a jó irány : Ha gondot okoz azonos méretű gömbök elrendezésére „sűrűség” vagy „tömörség” fogalmának definiálása, mivel egyezményes vagy egyoldalú kikötések megfogalmazásához vagy „definícióba bújtatásához” vezetnek, akkor egyszerűbb, ha nem használunk ilyen fogalmakat ennek a problémának a keretein belül. Akkor olyan könnyen megfogalmazható alapfogalmakat lehet használni, mint két térbeli idom egymáshoz való közelsége. Erre könnyű definíciót adni. Az I. pontban éppen az egymáshoz mért közelség volt a megfogalmazott követelmény. Egy ilyen követelmény nehezen kezelhető, ha általánosságban „sűrűségre” akarjuk alkalmazni, viszont azonos méretű gömbök elhelyezésére tökéletesen alkalmazható. (A „tömörségre” még visszatérek, de Kepler tétele „sűrűségről” és nem „tömörségről” szól.) Például azt vizsgáljuk, hogy egy adott G gömb ( amelyik legyen pl. G1 jelű gömb ) hány másik G gömböt érint egy azonos méretű egyenként G-vel jelölt gömbökből álló M térbeli alakzaton belül. ( G1 gömb része az M alakzatnak és a G gömbök egyike. ) Vagy ennek a G1 gömbnek a középpontjában, mint térbeli szög csúcsában a G1 gömböt érintő G gömbök középpontjai milyen térszögben látszanak. Ekkor nem tennénk kikötést arra vonatkozóan, hogy M alakzat szabályosan ismétlődő részekből (elemekből) áll-e vagy sem (például valamiféle „kristályrács szerkezetű”-e vagy sem). Hasonlóan nem lenne jelentősége annak, hogy milyen térközök vannak a G gömbök között, vagy hogy milyen „térfogattal” vagy „sűrűséggel” rendelkezik M alakzat, mit értsünk M alakzat „térfogatán” vagy „sűrűségén”. Így a levezetés lehet „egyéb kitételektől” mentes, tehát ezen az úton adható teljes körű (tiszta) bizonyítás.
( A közelség követelménye nem a térközöket használja, hanem a térbeli idomok egymástól mért távolságait. Éppen ezért nincs jelentősége annak, hogy egy azonos méretű gömbökből álló alakzat belsejében melyek a térközök egy meghatározott tartományának méretei, milyen a térközök ezen tartományának az alakja és mekkora a térfogata. „Egyéb kitétel” nélkül lehetetlen megszabni a térközök határát az alakzat külső határainál. Egyáltalában mik a külső határai egy azonos méretű gömbökből álló alakzatnak ? Illetve mik a külső határai bármilyen térbeli alakzatnak ? A későbbiekben foglalkozom ezzel. Valójában a közelség követelményét is nehéz megfogalmazni nagy számú gömbből álló alakzatnál. A „sűrűség” definiálása közelség követelményével azt is jelenthetné, hogy egy alakzat akkor a „legsűrűbb”, ha annak összetevői a lehető legközelebb helyezkednek el egymáshoz képest. ( Ez még nem definíció ! Egy alakzat „sűrűségének” közelség alapján való definiálása két lehetséges fő irányt jelenthet – megeshet, hogy a két irány ugyanaz, vagy hogy más mód is létezhet : vagy az alakzat egymáshoz legközelebb lévő összetevőinek egymáshoz mért távolságait vizsgálom, vagy az alakzat összetevőinek távolságösszegét illetve az alakzat összetevőinek egymáshoz mért átlagos távolságát. Itt nem próbálkozom ilyen definícióval, hanem erre a témára visszatérek majd az V. pontban. ) Ekkor viszont válaszút elé érnénk : Ha a közelség követelménye egy „rendező elv”, akkor érthető, hogy egy fémlap két végén található atomok hiába törekednek egymás irányába, ha a közöttük álló más atomok ebben meggátolják őket. Viszont matematikai szempontból, a közelségi követelmény alapján egyszerűen áthelyezhetnénk például egy azonos méretű gömbökből álló alakzat gömbjeit egyik helyről a másik helyre. Az V. pont a közelség követelményével indul, figyelembe véve a Boross Lajos által említett „rendező elvvel” való kapcsolatot. ( Ez a „rendező elv” alapvetően azt jelenti, hogy a gömbök „egymás felé törekednek”. Mivel az Ókorban eredő erőkről nem lehetett sok fogalma bárkinek is, olyan, egyébként tévesnek tűnő „rendező elvet” is ki lehetne találni, hogy csupán az egymáshoz legközelebb lévő gömbök törekednek egymás felé – a közelségre törekvés elve alapján - , majd az így létrejött részalakzatok is egymás felé törekednek. A valóságban akár éppen így is történhet ez, ha létezik olyan erő, amelyik képes atomokat egymás felé mozgatni és összetartani, mivel ez az erő nagyságrendekkel nagyobb lehet a gravitációnál és lehet „kis hatótávolságú” is egyben. Tehát egy Ókori diák jó irányba tévedne, feltéve, hogy a matematika törvényeit és a természeti törvényeket azonosnak feltételezi és megfogalmaz egy ilyen elvet. Egy ilyen elv „egyéb kitételt” jelent. Az atomok az Ókorban csupán az anyag feltételezett legkisebb összetevői voltak, semmilyen módon nem vizsgálhatták azokat. ) A közelség követelménye érthetőbbé teszi a tetraéder alakzatú négy gömbös csoportok meglétét például a lapcentrált kockarácsban. Ugyanez az eredmény elérhető lehet térfogat számítási módszerrel is, de ekkor elsikkadna a Boross Lajos által említett „rendező elv” lehetősége. A térfogatot képező idom előállítási módjának függvényében lehetne akár az I. pont tetraéderes alakzata „sűrűbb” bármilyen, egy rétegű, négy azonos méretű gömbből álló lapcentrált kockarácsos alakzatnál – ez ekkor térfogatra vonatkoztatott „sűrűség”. A „rendező elv” viszont azt eredményezheti, hogy ha „törekednének” is arra az egyrétegű alakzat gömbjei, hogy minél közelebb kerüljenek egymáshoz, akkor sem tudnának tetraéder alakzatokat létrehozni, hiszen középpontjaik egy síkra illeszkednek, így a „rendező elv” is a sík mentén mozgatná a gömböket.)
Továbbá : Ha közelséggel akarnánk definiálni a „sűrűséget”, akkor figyelembe kellene venni azt, hogy bármilyen M alakzatra, amelyik azonos méretű G gömbökből áll, nem jó „sűrűség” definíció az, hogy akkor a legsűrűbb, ha a szomszédos G gömbök közötti távolság nulla, mivel több ilyen szabályosan ismétlődő részekből álló elrendezés létezik, a lapcentrált kockarács elrendezés csak egy ezek közül.
A „sűrűség” fogalmai
Az alábbiakban megmutatom, hogy térfogattal sem lehet „sűrűséget” definiálni, mivel nincs „egyéb kitételtől” mentes, tetszőleges térbeli alakzatra vonatkozó definíció rá.
A „sűrűség” kifejezés a továbbiakban jelentheti az I. pontban megfogalmazott közelség követelményét, és jelenthet valamilyen „térfogatra” vonatkoztatott darabszámmal megadható sűrűséget. Éppen ezért a továbbiakban a „sűrűség” kifejezést körültekintően alkalmazom. ( Igyekszem közelség követelménye esetén a „közelség” kifejezést használni. )
A következő szövegrészben több ilyen színű mondarész 2008.05.05-i betoldás.
A fizikában alkalmazott sűrűség fogalom más utat sugall : A fizikában a sűrűség a tömeg és térfogat hányadosa. Hasonló „sűrűség” fogalom alkotható úgy, hogy szemben a fizikai sűrűség fogalmával, tömeget nem veszek figyelembe. Például ugyanolyan atomok ugyanazon izotópjaiból álló kristály atomjainak számát elosztom a kristály „térfogatával”. Később megmutatom, hogy az ilyen „térfogat” mindenképpen „egyéb kitételt” követel meg !
Hasonlóan : azonos méretű gömbökből álló alakzat gömbjeit megszámolom és osztom az alakzat általam definiált térfogatával. Legyen ez „térfogatos sűrűség”. Definíciójához szükséges valamilyen „térfogatot” is definiálni.
( Ez a „térfogatos sűrűség” sem azonos a fizikában alkalmazott sűrűség fogalmával, és nem is feltétlenül számolható át fizikai sűrűséggé egy valódi tárgy esetén, mivel ha a tárgy tömegét mérem, nem törődöm azzal, hogy össztömege azonos-e részecskéinek tömegösszegével. A tömeg lehet mért mennyiség vagy más mért mennyiségek alapján számított mennyiség, de ha számítják, annak meghatározása összetevőinek tömegösszegével nehézkes és viszonylag nagy hibát eredményező számítás is lehet. Máskülönben minden fizikai – és műszaki - mennyiség esetén, akár mérik, akár más mért mennyiségek segítségével számítják ezeket, van hiba például a mérő eszköz pontatlansága miatt, ezért sem lehet azonos a fizikai sűrűség fogalom semmilyen matematikai „sűrűség” fogalmával. Mivel ha az összetevők /részecskék/ és azok száma ismeretes is, a méréses ellenőrzéskor elkerülhetetlen valamekkora hiba. )
A „tömörség” fogalmai
A „tömörség” legegyszerűbben úgy definiálható, hogy egy tetszőleges M térbeli alakzat akkor a „legtömörebb”, ha alkotórészei ( azaz pontok, vonalak és idomok ) a lehető legközelebb vannak egymáshoz. Ez még lehet azonos fogalom közelség alapján definiált „sűrűséggel”, ha nem veszem figyelembe egy „rendező elv” lehetőségét. Az V. pontban megpróbálom majd vizsgálni a közelség alapján definiálható „sűrűség” illetve „tömörség” fogalmait. Viszont adható egy leszűkített „tömörség” fogalomra definíció : Egy tetszőleges M térbeli alakzat akkor a „legtömörebb”, ha alkotórészei ( azaz azt alkotó pontok, vonalak és idomok ) a lehető legközelebb vannak egy közös mértani középponthoz.
A „tömörség” általam fent bevezetett fogalma és a Kepler tétel „sűrűsége” közötti különbség jól látható : A Kepler tétel nem tesz semmilyen követelményt egy vizsgált M térbeli alakzat alakjára vonatkozóan. Például egy valóságos fémlap atomjainak elrendezésére vonatkoztatva lehet a lehető „legsűrűbb” szerkezetű, akkor is, ha vastagsága jóval kisebb mérettartományban van, mint szélessége és hossza. (Most szélessége és hosszúsága alatt Euklideszi értelemben vett szélességet és hosszúságot értek, tehát lehet ez a fémlap akármilyen alakú, akár körlap alakú is. ) Viszont a lehető legnagyobb távolságok alapján úgy tűnik, hogy az előbbi fémlap atomjaiból csak úgy tudom a lehető „legtömörebb” elrendezést elkészíteni, ha a fémtárgy alakja gömb alakú. ( Azt, hogy ez így van-e vagy sem, az V. pontban vizsgálom. )
Viszont az előbbiekben kérdéses, hogy mit is jelent az, hogy valami a lehető „legsűrűbb” szerkezetű. Erre visszatérek a III. fejezetben.
A „térfogatos sűrűség”
Tegyünk egy megközelítést a „térfogatos sűrűség” ( ez tehát nem azonos a fizikában használatos sűrűség fogalmával ) fogalmára valamilyen „térfogat” segítségével. (Ez az út csak „egyéb kitételek” segítségével járható, ezért már tudom, hogy nem eredményezhet teljes körű bizonyítást.)
Azonos méretű egyenként G-vel jelölt gömbök tetszőleges M térbeli alakzata esetén bármilyen n darab ( n pozitív egész szám) G gömbből álló alakzat „tényleges” térfogata ugyanaz, mivel akkor a „tényleges” térfogat az alakzatot alkotó idomok térfogatainak összege, az azok közötti térközök nem idomok. ( Ha egy G gömb térfogata Vg, akkor M alakzat tényleges térfogata n*Vg ) Bármilyen elrendezésre ugyanaz a „tényleges” térfoguk, mivel csak az alakzat összetevőit ( itt gömböket ) vehetem figyelembe. Tehát az alakzat „tényleges” térfogatára nem lehet térfogat alapján számított „sűrűséget” vonatkoztatni.
2008.05.05-i megjegyzés :
Viszont felvethető, hogy az alakzat végső soron pontokból áll. Az alakzat kiterjedése e pontok egymáshoz viszonyított elhelyezkedését, így egymástól mért távolságát is jelenti. Így önkényesnek tűnik csak az önálló idomnak tekinthető részalakzatokkal foglalkozni kezdeten, és csak utána vizsgálni ezen összetevők (itt a gömbök) egymáshoz viszonyított helyzetét. Itt a gond az, hogy még nem mutattam meg, hogy nem minden térbeli alakzatnak van térfogata, mégis használom ezt az ismeretet. Mint levezetés úgy állja meg a helyét, hogy önkényesen kiválasztom az alakzat részalakzatait (ezek a gömbök), majd vizsgálom ezek kapcsolatát térfogattal, és megmutatom, hogy olyan térfogat - „egyéb kitételek” használata nélkül - nem is létezik.
„Térfogatos sűrűség” fogalma alatt most azt érthetem, hogy egy adott alakú Y térbeli idomba az egyenként G-vel jelölt azonos méretű gömbökből álló M alakzat hány darab G gömbje fér bele, ha az M alakzatot és az adott Y térbeli idomot megpróbálom egymásra illeszteni. Feltűnő, hogy eszerint az így értelmezett „térfogatos sűrűség” függ az M térbeli alakzat és Y térbeli idom alakjától. Ha valamiféleképpen „fel akarom tölteni” az Y térbeli idomot, mint egy „tartályt” M alakzattal, akkor máris van kikötésem M alakjára vonatkozóan.
Akkor megfordítom :
Tegyük fel, hogy bármilyen M térbeli alakzatra megpróbálok találni olyan Y térbeli idomot, amelyik a lehető legjobban közelíti M alakzat alakját. Egy ilyen Y idom lehet konkáv, mivel felülete „rásimul” M alakzatra.
Hol van az előbbi Y konkáv térbeli idomnak a határa ? ( A felületének a határa. ) Ki lehetne találni egy szabályt erre vonatkozóan. Például Y felülete ne „horpadjon” be két szomszédos ( az egymáshoz legközelebb álló ) G gömb közé annyira, hogy a két G gömb középpontját összekötő szakasz kívül essen Y felületén. ( De ekkor még például ilyen értelemben egy fenyő felületének határa lehetne bárhol a fenyőn belül, mert valamilyen felülettel utat találtam atomjai között a belsejébe. ) Ilyen követelmény szerint lehetne olyan az Y idom, amelyik tele van „lyukakkal”, mert felülete minden G gömb felületére és a szomszédos G gömbök középpontjait összekötő szakaszok gömbökön kívüli pontjaira minden határon túl közelít ( kivételek azok a pontok, amelyek az előbbi szakaszok és a G gömbök felületének metszéspontjai, mivel ezekre a pontokra nem közelíthet az előbb szakaszokkal illeszkedően Y felülete ). Ekkor Y térfogata azonos lenne M alakzat fentebb leírt „tényleges” térfogatával, vagyis n darab ( n pozitív egész szám ) egyenként G-vel jelölt azonos méretű G gömbből álló alakzatra előbbiek szerint közelítő felületű Y térbeli idom térfogata a gömbök bármilyen elrendezése esetén n*Vg lenne, ahol Vg egy G gömb térfogata.
Y előállítására vonatkozó szabályomat ekkor módosíthatom : Y felülete legyen olyan, hogy ne essen kívül ezen a felületen M alakzat bármelyik három egymással szomszédos G gömbjének középpontjait összekötő szakaszok által meghatározott háromszög síkfelületének gömbökön kívüli része.
Ekkor négy egyenként G-vel jelölt gömbre találhatok olyan elrendezést, amikor nem kell az előbbi háromszögekkel bajlódnom: A négy G gömb középpontja illeszkedjen egy egyenesre. Ekkor Y térfogata még mindig 4*Vg, ahol Vg egy G gömb térfogata. Tehát a lehető legkisebb térfogat. Ez az alakzat mégsem tesz eleget Kepler „sűrűség” követelményének, holott „térfogatos sűrűsége” a lehető legkisebb. Sőt : Az I. pont szerint a Kepler tételnek négy gömb esetén olyan tetraéderes elrendezés felel meg, amelyben mindegyik gömb érinti a másik hármat. A közelség követelményével ! (De éppen ez az, ami gondot okoz, ki mondta, hogy két azonos méretű gömbökből álló lapcentrált kockarácsos alakzat sűrűsége mindenképpen azonos? És honnan tudom, mi a sűrűségük, ha az nem lehet térfogatos sűrűség ?)
A kiegészítés előtti mondat 2008.05.05-én javítva, az eredetiben szerepelt egy fölösleges névelő: „Sőt : Az I. pont szerint a Kepler tételnek négy gömb esetén olyan a tetraéderes elrendezés felel meg, amelyben mindegyik gömb érinti a másik hármat.”
(Ennek az elrendezésnek ( a tetraéder alakzatnak ) viszont nem a lehető legkisebb az előbbiek szerinti „térfogatos sűrűsége”, mert Y idomon belül van a gömbök közötti térköz egy tartománya. A térköz tartományának határait éppen Y felületének fenti előállítási szabályai adják meg. Lehetne úgy is okoskodni, hogy Y felületének előállítására még bonyolultabb szabályt kell tenni. Ez nem lehetetlen, de jól látható, hogy a következő követelmény valamilyen formában térbeli idommal függene össze, például háromszög alapú gúla alakzatokat is figyelembe kellene venni Y felületének előállításakor. Vagy lehetne a gömböket határoló síkok segítségével valamilyen szabály szerint előállítani konkáv határoló felületeket. Tovább haladni ezen az úton viszont teljesen felesleges : Y előállításának fenti szabálya tökéletesen alkalmas lehet például egy valódi fenyőfa felületének matematikai közelítéséhez. Általánosságban a szomszédos összetevőket - pontokat, vonalakat és idomokat, általában részalakzatokat - határoló síkokkal képzett konkáv felületű Y idom lehet a legmegfelelőbb. De ez „egyéb kitételt” jelent akkor is, ha egyezményes módszer !
Ha M alakzat n darab egyenként G-vel jelölt azonos méretű gömbökből áll, amelyek gyöngyfüzérszerűen kapcsolódnak egymáshoz és a „gyöngyfüzér” két végén egy-egy G gömb csak egy másik G gömbbel érintkezik, míg a többi G gömb mindegyike pontosan két másik G gömbbel, akkor előállnak ugyan az fentiek szerinti háromszögek, de ezek nem minden esetben zárnak közre térközöket, tehát a füzérre közelítő Y idom térfogata akár éppen n*Vg lenne, ha Vg egy G gömb térfogata. (2008.05.05-i javítás : Az előző mondat az újabb kiegészítések nélkül hibás állítás volt! Nem igaz ez az előbbi „gyöngyfüzérre” minden esetben, hiszen csavarodhat úgy ez a „gyöngyfüzér”, hogy előállnak az előbbi háromszögek gömbökön kívüli részeivel határolt idomok. Mert például négy gömbből álló tetraédereket csinálok benne. (Tehát ez nem olyan, mint egy igazi gyöngyfüzér.) Csak az igaz, hogy lehet olyan egy ilyen „gyöngyfüzér”, hogy nem állnak elő ilyen térközök. A következő mondatban volt egy fölösleges névelő.) Ez a lehető legnagyobb „térfogatos sűrűséget” eredményezi, M alakzat mégsem a lehető „legsűrűbb” az alakzat Kepler tétele szerint. Hasonlóan, ha n elegendően nagy szám, akkor ilyen gyöngyfüzérekből felépíthetek úgy egy „fenyőfa” alakzatot ( valódi fenyőt formázó alakzatot, amelynek a törzse, ágai és levelei egy-egy egysoros „gyöngyfüzérből” állnak és az egyes füzérek csak egy-egy pontban érintik egymást ), hogy az alakzatra előbbiek szerint illesztett Y idom térfogata éppen n*Vg, tehát a lehető legkisebb térfogat, ezért az M alakzat „térfogatos sűrűsége” a lehető legnagyobb, ez az alakzat mégsem a lehető legsűrűbb a Kepler tétel értelmében.
A „térfogatos sűrűség” tárgyalását ezzel be is fejezem. Láthatóan „egyéb kitételek” megfogalmazását követeli meg. Y idom előállítására bevezettem egy szabályt. Alkalmazhatósága akár további „egyéb kitételek” bevezetését is jelenti. ( Az V. pontban visszatérek a „térfogatos sűrűséghez”, mivel azonos méretű gömbökből álló alakzatokon belüli rész alakzatok vizsgálatára alkalmas, „egyéb kitételek” alkalmazásával. Ha bárkinek sikerül így korábban még nem létező bizonyítást adnia Kepler tételére, az egy nagyon jó „nem teljes körű” bizonyítást jelenthet. )
Figyelemre méltó az eddigiek alapján az a tény, hogy találhatunk valamiféle definíciót tetszőleges térbeli alakzat térbeli kiterjedésének határaira és az ezen határokhoz ( felülethez ) tartozó térbeli idom térfogatára, amelyet az alakzat valamiféle térfogatának tekinthetünk, de ez a definíció „egyéb kitételek” megfogalmazását teszik szükségessé, ha bármely alakzatra keresem annak térbeli határait. De vannak olyan alakzatok, amelyekre nincs szükség „egyéb kitételre” térbeli kiterjedésük megállapításához és térfogatuk számításához. A geometria tantárgy által tárgyalt térbeli idomok ilyenek ! ( Például a tetraéderek is ilyenek. ) Éppen ezért vannak olyan térbeli alakzatok, amelyeknél nem okoz nehézséget „térfogatos sűrűség” számítása, mivel olyan térbeli idomok, vagy olyan térbeli idomokból és olyan módon épülnek fel, amelyek az ilyen számítást lehetővé teszik. ( Az V. pontban erre a témára visszatérek. ) Az ilyen színű részek az előbbiekben 2008.05.05-i javítások.
III. A „térfogatos tömörség”
2008.05.05-i megjegyzés : A „tömörség” (közelséggel definiált „tömörség”), „térfogatos tömörség” és a „konvex csomagolástechnika” ennek a fejezetnek a témája. Ezekből a „térfogatos tömörség” alkalmazhatóvá tétele lett volna a cél (azt hittem, ez lesz a jó irány), később erről letettem. A „konvex csomagolástechnika” és annak bevezetője (azzal kezdődik a fejezet) önmagában nekem jópofa dolog, de az eredeti indoklásban több hiba is volt, egy ezekből elvi hiba, és az egésznek nem látszik a döntő jelentősége a „Kepler tétel” szempontjából. Más szempontból lényeges : az agyam mi alapján dönti el, hogy mi a sűrűbb. Tehát függetlenül matematikai definícióktól számomra mi a sűrűbb. Mi is ez a fogalom általában az emberi gondolkodásban, de legalábbis az enyémben. A fejezet végén feltűnően erőltetem a gömbök középpontjai által meghatározott idom vizsgálatát. Ez nagyon erős eltérés az eredeti tételhez képest, de nem haszontalan dolog, az V. fejezetben használom is.
A szövegben található 2008.05.05-i betoldások ilyen színűek.
A kérdést úgy is lehet kezelni, hogy vajon egy fenyőfának mekkora a térfogata. Az egyik irány a fentebbi szabályok szerint előállított térfogat. ( A fa tényleges térfogata itt mást jelentene, mint a fentebbi „tényleges” térfogat, mivel a fenti „tényleges” térfogat azt jelentené, hogy a fenyőnek, mint térbeli alakzat „tényleges” térfogata az összetevőinek térfogatösszege. Ekkor melyek ezek az alkotóelemek ? A sejtjei ? A molekulái ? Az atomjai ? Nukleonjai és elektronjai ? Mindig találnék kisebb alkotórészeket, míg el nem jutnék a feltételezett kvarkokig, és mindegyik esetben térközöket találnék, amelyek nem részei az összetevőknek, hanem az azok közötti tér meghatározható üres tartományait jelentik. ) Tehát a II. pontban említett Y térfogat előállítása a jó út. Például a fenyő felületének „matematikai” határait a fenyő olyan legkülső atomjaiból álló és egymással kölcsönösen szomszédos ( egymáshoz legközelebb álló ) három-három atomot tartalmazó alakzatok által meghatározott háromszögek jelentenék, amelyekre a II. pontban leírt Y idom felülete minden határon túl közelíthet. ( Mert ezek az atom hármasok „legkívül” találhatóak a fenyő adott tartományában. )
Egy így értelmezett térbeli kiterjedés és „térfogat” közel áll a fizikai térfogathoz. Próbálkozhatunk folyadék ( pl. víz ) kiszorításával. Belemártjuk a vízbe a – mondjuk gyökerei felett kivágott - fenyőfát egy vízzel teli tartályba úgy, hogy ne legyenek a fenyő gallyai ill. levelei között és a törzsén légbuborékok. Ekkor megnézzük, hogy mekkora térfogatú vizet „szorított ki”, azaz a fenyővel együtt mennyivel nőtt a tartályban lévő víz térfogata. Így eljutnánk a fenyő „térfogatának” fizikai fogalmához. Csakhogy ha valaki mondjuk karácsonyfát állít otthon, a fenyő kiterjedését is figyelembe kell vennie, nem csak az előbbi megközelítés szerinti „térfogatot”. ( Elsősorban a fenyő kiterjedését kell figyelembe vennie. )
A fa kiterjedésére és térfogatára nézve két nézőpontunk van :
1.
Igaz, hogy rengeteg „hely” van a fenyő ágai és tűlevelei között, és azokat – ha karácsonyfát állítunk a fenyővel - a díszítés szempontjából ki tudjuk használni. Hasonlóan a fa alatti tér is kihasználható, mert oda kerülhetnek pl. egyes ajándékok. Ilyen megközelítéssel eljuthatunk annak a szobának a levegőjét alkotó molekulákig, amelyik szobába elhelyeztük a fát. Eszerint minden térrészt ki tudunk használni a fa ágai és levelei között, mert a fa ágai levelei közé kerül szobánk levegőjének egy része. Így a fa tényleges kiterjedésének határa matematikai értelemben éppen felületének határa.
2.
Egyébként a fa szobánk légteréből az előbbi „tényleges” térfogatnál nagyobb térrészt foglal el. Számtalanféle módon lehetne meghatározást adni arra nézve, hogy végtére is mekkora térrészt foglal el egy fenyőfa. Ezek bármelyike önkényes definíció, mert lehetne adni attól eltérő definíciót is. Az alapkoncepcióm lehet az is, hogy egy olyan nagyon vékony rugalmas hálót húzok a fára, amelyik nem mozdítja el a faágakat és leveleket. Lehetne ez egy olyan fa, aminek aránylag hosszabb csupasz vagy megcsupaszított törzse van, ahol már nincsenek rajta ágak. A háló végét összehúzhatnám akár közvetlenül az ágak alatt, de lehúzhatnám egészen a fa tövéig. Ha a fa tövénél van összefogva a háló, és a háló természeténél fogva nem olyan rugalmas, hogy „konkáv horpadások” keletkezzenek rajta, akkor - feltéve, hogy a fa leghosszabb ági vannak legalul, és körkörösen helyezkednek el - ez a háló elveszi a fa ágainak csúcsai és a törzs közötti térnek azt a részét, amelyik - nem pontosan hanem közelítőleg - a legalsó faágak végeit a fa törzsének legalsó külső peremével összekötő egyenes szakaszok által határolt térrész. ( Ha a hálón „konkáv” horpadások vannak, akkor a háló egy olyan Y idomot állít elő, amelyik köztes állapot a „konvex” állapot és a II. pontban leírt – konkáv - idom között. Számtalan ilyen köztes felület állítható elő újabb és újabb „egyéb kikötések” alkalmazásával. Éppen ezért ezekkel a „konkáv” felületekkel nem próbálkozom. ) Tehát a háló nélkül lehetne a fa alá tenni egynéhány olyan nagyobb ajándéktárgyat, amelyeket ugyanúgy már nem lehet elhelyezni, ha ott van a háló. Viszont egy ilyen hálónak lenne két jó tulajdonsága :
- Az ilyen hálóval „felruházott” fa alakja közelítene egy olyan konvex térbeli idomot, aminek az előállítására már lehet találni valamiféle definíciót.
- A háló „bünteti” a kiszögelléseket. Minél kevesebb kinyúló vagy kiszögellő része van a fának, annál „tömörebb” alakzat.
A fenti két megközelítés közötti különbség a fentiek alapján nyilvánvalónak tűnik :
1.
A fa fentiek szerinti fizikai kiterjedése valódi kiterjedés, az ahhoz kapcsolódó „térfogata” valódi térfogat, a fa sűrűsége úgy adódik, hogy a fa tömegét osztom a fa térfogatával. Ennek megfelelően bevezethetnék egy „térfogatos sűrűség” fogalmat is, ha nem fáról, hanem olyan tárgyról lenne szó, amelyet alkotó részek ugyanolyan atomok ugyanazon izotópjai lennének. Ekkor ezeket az atomokat összeszámolom, és ezt a számot osztom a tárgy tényleges térfogatával. Ez tehát „térfogatos sűrűség” alkalmazását jelenti, és azt a II. pontban már vizsgáltam.
2.
A fa kiterjedése nem azonos a fa tényleges térfogatával. A fa ágai és levelei között sok olyan térköz van, amit csak levegő tölthet ki, ha a fa egy levegővel teli szobában áll. Hasonlóan : Egy épület kiterjedése ( és ahhoz kapcsolódó térfogata ) sem azonos az egyes építőelemeinek és berendezési tárgyainak kiterjedésével ( és térfogatuk összegével ). Egy épület kiterjedése ( és az ahhoz kapcsolódó térfogata ) magában foglalja a falai közötti térközöket is.
A hálóval előállított konvex „csomagolt” térfogat önkényes, mert ha igaz is, hogy csak egyféle módon lehet konvex „csomagolt” idomot képezni a fából, számtalanféle konkáv „csomagolást” lehet alkalmazni egy fára, hasonlóan önkényes szabályok ( azaz újabb „egyéb kikötések” szerint ). Egy érv szól mellette – és ez még nem matematikai bizonyítás ! - , mégpedig az „egyéb kikötések” várhatóan kis száma és a II. pont szerint „tömörség” fogalmával való kapcsolata.
Az előző mondatból 2008.05.05-én törölve a „leszűkített” szó.
Mi értelme a „tömörségi” definíciómnak, bármi legyen is az ? Fentebbiek szerint ez nem jó út a bizonyításra, mivel valamiféle „tömörség” definíciójával próbálkozom, és ez önkényes definíció lesz akkor is, ha kölcsönösen elfogadott definíció, mivel „egyéb kikötéseket” követel meg. Úgy látszik, hogy a „tömörség” bármilyen „sűrűségnél” szigorúbb követelmény lehet, mivel nem közömbös a vizsgált alakzat alakja.
Másfelől a fenti „konvex csomagolás” valamiféle hálóval olyan általam előállított konvex idomot és ahhoz rendelhető térfogatot jelent, ami nem veszi figyelembe a fa tényleges (átlagos) „térfogatos sűrűségét”, ami a fa tényleges térfogatával számítható. Ha ezt a „konvex csomagolt” térfogatot használom valamiféle „térfogatos sűrűség” számításához, a II. pontban leírt „térfogatos sűrűségnél” kisebb értéket kapok. Ennek oka az, hogy a „konvex hálóval” előállított idom nem csak a kiszögelléseket „bünteti”, hanem minden „fölösleges” térközt, ami a fára illesztett ( a „konvex háló” által meghatározott ) konvex idomon belül található. Tehát ha a fát össze tudom „gömbölyíteni”, mégpedig minél „sűrűbbé” préselve az ágait és leveleit, akkor az így előállított új alakzat „tömörebb”, mint az eredeti fa, mert kisebb térfogatú „konvex csomagolt” idommal lehet felületét közelíteni, így ugyanazon összetevők ugyanazon számát kisebb térfogattal osztva nagyobb „térfogatos sűrűséggel” rendelkezik. Mivel ilyenkor, ha azonos méretű egyenként G-vel jelölt gömbökből álló M alakzatra vonatkoztatom az előbbieket, más a „térfogatos sűrűséghez” kapcsolódó Y idom előállási szabálya, a továbbiakban ilyen „konvex csomagolt” Y idom alkalmazásakor „térfogatos sűrűség” helyett a „térfogatos tömörség” kifejezést használom.
2008.05.05-én fentebb a „kisebb” szó kicserélve a „nagyobb” szóra.
A következő rész lényeges.
Egy lapcentrált kockarácsos elrendezést mutató alakzat felépítésére kitalálható valamiféle szabály. Számtalan ilyen szabály lehet, aszerint, hogy mi a cél. Legyen a cél az, hogy egy azonos méretű, egyenként G-vel jelölt gömbökből álló M alakzat minden egyes G gömbje olyan mértani helyen legyen, ahol akkor is állhatna, ha az M alakzat része egy olyan N alakzatnak, amelynek vannak olyan tartományai, amelyeken belül a G gömbök a lehető „legsűrűbben” helyezkednek el, azaz N „hézagmentes” tartományokat tartalmaz. Másképp fogalmazva : Legyen N egy olyan alakzat, amelyik h darab ( h pozitív egész, és legyen elegendően nagy szám ) azonos méretű, egyenként G-vel jelölt gömbből áll és ezek olyan lapcentrált kockarács szerkezetet alkotnak, amelyen belül vannak olyan tartományok ( tehát a belsejében ), ahová további G gömböket nem lehet elhelyezni. (Tehát ezek a tartományok „hézagmentesek”, a lehető „legsűrűbben” tartalmazzák a G gömböket.) Ezen tartományoknak legyen része az M alakzat. M alakzatot úgy állítom elő, hogy elveszek a gömbökből, mégpedig önkényes szabályok szerint.
Ha elegendően nagy számú gömbből áll N valamelyik hézagmentes tartománya, akkor azon belül gömbök elvételével eljuthatok egy olyan M alakzatig, amelyik éppen valamilyen fenyőfát mintáz (fenyőfára emlékeztető alakja van, akár külön „ágakkal” és „tűlevelekkel” ).
Az előbbi 2008.05.05-i javítás, az eredeti szöveg ez volt : „Ha elegendően nagy szám h, akkor a gömbök elvételével eljuthatok egy olyan M alakzatig, amelyik éppen valamilyen fenyőfát mintáz (fenyőfára emlékeztető alakja van, akár külön „ágakkal” és „tűlevelekkel” ).” Lejjebb betoldva egy hiányzó névelő.
Álljon ez az M alakzat n darab G gömbből. Ekkor az n darab G gömbből előállítok egy olyan B alakzatot, amelyik ugyanabból az n darab G gömbből áll, de „sűrűbben” helyezem el a G gömböket az M alakzat elrendezéséhez képest. Például úgy helyezem el azokat, hogy számos rétegből álló „hézagmentes” lapcentrált kockarácsot alkotnak, az alakzat belsejében minden rácshelyen egy-egy G gömbbel. Viszont ugyanaz a rácsszerkezet jellemzi. Lehet M olyan alakzat („fenyő”), amelynek törzse, ágai és levelei egy sorba felfűzött G gömbökből áll. ( A törzs, az ágak és a levelek „vastagsága” legfeljebb egy G gömb átmérőjét teszik ki. ) Ne legyen kihagyás M egyes G gömbjei között ( érintsék egymást).
A két alakzat közül a Kepler tétel értelmében mindenképpen B alakzat a „sűrűbb” . Köznapi értelemben ! Ez lényeges, mert az, hogy mit tekintek sűrűbbnek, nem csak matematikai definíciókon múlik, hanem azon, hogyan gondolkodom. Az látszik, hogy a közelség követelményével és „konvex csomagolt” térfogatra is melyik a sűrűbb. (2008.05.05-i megjegyzés)
Várhatóan B „térfogatos tömörsége” is nagyobb, mint M alakzaté, de az nem független B alakjától.
Ennek oka az, hogy a fenyőszerű alakzaton belül nagyobb a G gömbök közötti térközök térfogatösszege M alakzat esetén, mint B alakzat esetén.
Az előző 2008.05.05-i javítás. Az eredeti szöveg ez volt : „Ennek oka az, hogy a fenyőszerű alakzaton belül nagyobb G gömbök közötti térközök térfogatösszege B alakzat esetén, mint M alakzat esetén.”
Hogy valóban minden esetben B rendelkezik nagyobb „térfogatos tömörséggel”, azt most nem vizsgálom. Figyelemre méltó, hogy nem elegendő, ha egy alakzat lapcentrált kockarács elrendezést mutat. Az is szükséges, hogy minél kevesebb „hézag” legyen ebben az elrendezésben. Az is figyelemre méltó, hogy előre láthatóan a „térfogatos tömörség” vizsgálata szempontjából közömbös, hogy M alakzat gömbjeit valamilyen szabály szerint helyezik el.
A „konvex csomagolás”
Bármilyen F fenyőfából ( későbbiekben F tetszőleges /bármilyen/ térbeli alakzat lesz, de itt még fenyőfa ) előállíthatok egy, a fenti „konvex hálós” csomagoláshoz hasonló módon egy W térbeli idomot a következők szerint :
Az F fenyőre olyan érintősíkokat illesztek, amelyek mindegyike legalább az F fenyő egy pontját érintik. Ha csak egy pontját érinti az érintősík, akkor legyen az az egy érintési pont W felületének része. Ha legalább két pontját érintik, az érintő síkon egyenes szakaszokat határoznak azok a pontok, amelyekkel az érintősík érintkezik. Ezeknek – a végtelenül sok – érintési pontoknak és egyenes szakaszoknak az összessége adja az új W térbeli idom Q felületét.
2008.05.05-i javítás és megjegyzés : Tehát végtelenül sok síkot használok. Ez a fentiekből kimaradt. Ezen síkok mindegyike csak az „ellenkező oldali” párjával párhuzamos. A végtelen használatát ebben a csomagolástechnikában zavarónak érzem, de nem akarok vele bajlódni. Tetszőlegesen választott térbeli alakzat „konvex csomagolásához” itt elkerülhetetlennek látszik. Később Zu idom előállítása kapcsán látszik majd, hogy a fenti módon végzett „csomagolással” nem is kell foglalkozni, van egyszerűbb módszer.
Az eredetileg itt következő indirekt „bizonyítás” W idom konvex voltára elvi hibás, az egyszerűség kedvéért végleg törlöm 2008.05.05-én. A folytonosságra vonatkozó rész alkalmasnak látszik arra, hogy W-t véges vagy végtelen lépésben közelítő Z (Zu) idom konvex voltát bizonyítsam. Viszont az is látszik, hogy W-t egyszerűbb volna a lentebb leírt módszerrel előállítani (pl. egy kezdeti Z tetraéderből). Akkor egycsapásra megszűnne a gond a folytonossággal és a konvex sajátossággal.
Az ilyen színű betoldások lentebb 2008.05.05-iek.
Tartalmazhat-e az így előállított W idom Q felülete szakadásokat vagy lyukakat ? Megpróbáltam egy indirekt bizonyítást, de az számos egymással összetett vagylagos viszonyban lévő esetre bontást jelentett volna, és az nagyon bonyolult ( levezethető ugyan, de minden esetre ki kell térni, különben rossz az indoklás, és az önmagában egy kb. másfél oldalas tömény agymunka ).
Indirekt bizonyítás helyett próbálkozom a következővel :
Minden térbeli idom „csomagolható” olyan zárt felülettel, amelyik az adott térbeli idomot magában foglalja. Tehát W idom köré is illeszthető olyan felület, amelyik Z idom K felülete és magában foglalja W-t. Legyen Z egy háromszög alapú gúla, amelyet négy darab háromszög határol. Előállítom Z-ből Z1 idomot úgy, hogy mindegyik oldalát az eredeti oldalakkal rendre párhuzamosan addig közelítem W-ig, míg el nem éri W egy-egy pontját. Legalább négy ilyen érintési pont jön létre. Az előbbiek szerint Z1 háromszög alapú gúla mindegyik oldalának síkja párhuzamos az eredeti Z háromszög alapú gúla valamelyik oldalának síkjával. Ha elkészült Z1, keresek egy tetszőleges J1 pontot Q-n, amelyik nem része Z1 idom K1 felületének ( tehát az előbbi legalább négy érintési pontnak sem ), és erre a J1 pontra illesztek egy érintősíkot. Az érintősík Z1-et két részre osztja : Az egyik rész tartalmazza W-t, ez legyen Z2 idom.
Az itt álló rész 2008.05.05-én törölve : ,, a másik rész legfeljebb W egy pontját tartalmazza, J1-t ( ha az érintési pontot közös pontjuknak mondom. )” A törlés oka az, hogy ez az állítás nem minden esetre igaz, és a szöveg egésze szempontjából nem lényeges.
Az előállított Z2 idom K2 felülete folytonos, mivel egymást határoló síkidomokból áll és ezeket a síkidomokat folytonos síkok határozzák meg. Most veszem Q egy olyan J2 pontját, amelyik nem része Z2 idom K2 felületének, tehát a közös érintési pontjaiknak sem része. Erre a J2 pontra illesztek egy érintősíkot, amelyik Z2-t két részre osztja : Az egyik rész tartalmazza W-t, ez legyen Z3 idom.
Az itt következő rész az előbbihez hasonló okból 2008.05.05-én törölve :
„a másik rész legfeljebb W egy pontját tartalmazza, J2-t ( ha az érintési pontot közös pontjuknak mondom. )”
Az előállított Z3 idom K3 felülete folytonos, mivel egymást határoló síkidomokból áll és ezeket a síkidomokat folytonos síkok határozzák meg.
Ha Q-ra véges számú érintősík illeszthető, akkor azok száma lehet akár 3 is, ekkor W egy háromszög alapú gúla és Q négy darab háromszögből áll.
Ha a fenti műveletet csak véges számban tudom elvégezni, akkor van egy olyan u pozitív egész szám, aminél több lépés már nem lehetséges. Ekkor Zu idomból nem állítható elő Zu+1 idom. Ez azt jelenti, hogy Zu egy olyan ( itt Ku-val jelölt ) f oldalú felülettel határolt idom, amelynek Ku felülete egybevágó Q-val és Zu egybevágó W-vel, ha Q folytonos. ( Q felület ekkor f darab síkidomból áll. ) (Ha ekkor Q nem lenne folytonos, akkor is f oldalú felülettel határolt idom lenne, amelynek feltevésünk szerint szakadt vagy lyukas lenne valamelyik oldala és amelynek véges számú csúcsa van, mivel újabb olyan érintősíkot nem tudnék Q tetszőleges pontjára illeszteni, amelyik nem egybevágó egy korábbi érintősíkkal, feltéve, hogy újabb érintősík csak olyan lehet, amelyik Zu-t valódi két idomra osztja és nem egy idomra és egy pontra - ha ezt a pontot nem tekintem az idom részének, de annak kell tekintenem.)
A fenti 2005.05.05-i javítás, az eredeti mondatrész ez volt : „amelyik nem volt része egy korábbi érintősíknak Zu előállítása során”
Ha nincs ilyen u szám, aminél több lépés nem lehetséges, akkor a fenti műveletet végtelenül sokszor ismételve mindig kapok egy újabb idomot, amire igaz, hogy magában foglalja W-t és felülete folytonos.
2008.05.05-i betoldás : A következőkben addig nem hivatkozhatom arra, hogy W konvex térbeli idom, amíg be nem látom. Mivel W helyett elegendő lenne Zu-val dolgozni, az egyszerűség kedvéért Zu-ra kell belátni, hogy konvex. (Ezért mondtam, hogy Z-vel azonos módon kellene előállítani W-t - és jobb lenne ha W azonos lenne Zu-val - csakhogy nem akarom átírni a szöveget.)
A következő mondat 2008.05.05-én törölve, tekintettel az új konvex bizonyításra :
„Mivel W alakja a fentebb leírtak szerint konvex, érintősíkokkal Q felülete minden határon túl közelíthető, mert nincs felületének egyetlen olyan pontja sem, amire illesztett érintősík W-t metszi, tehát minden egyes pontjára illeszthető érintősík.”
Ha nincs olyan u pozitív egész szám, amire igaz, hogy Zu idomból a fenti eljárás segítségével nem lehet előállítani olyan Zu+1 idomot, amelyik az azt megelőző Zu-nál Q-ra jobban közelítő felületű idom, akkor u bármilyen értéke esetén Ju érintési pont előállítása után előállíthatok egy Ju+1 érintési pontot. Tehát az ilyen érintési pontok száma bármilyen nagy is, mindig találok újabb érintési pontokat, ezt tehetem „vég nélkül”, az érintési pontok száma minden határon túl növekedhet. ( Ha a végtelen fogalmát használom : az ilyen érintési pontok száma ekkor végtelen. )
Ekkor az is igaz, bármekkora is a W-t közelítő, a Z-ből előállított idom oldalainak száma, mindig találhatok olyan W-t jobban közelítő idomot, amelyiknek felülete még több síkidomból áll, tehát az oldalak száma minden határon túl növelhető. ( Ha a végtelen fogalmát használom : ekkor a W-t közelítő, Z-ből előállított idom oldalainak száma végtelen, és ezek az oldalak a fentiek szerint síkidomok. ) Z-ből előbbiek szerinti nem véges számú lépésekben előállított idom felülete minden határon túl közelíti W felületét, ha az előbb leírt lépések száma nem véges. ( Nem véges számú lépés azt jelenti, hogy a lépések száma minden határon túl növelhető. )
A következő rész 2008.05.05-én törölve, tekintettel az új konvex bizonyításra :
„Vagyis : Bármely F térbeli alakzat ( vagy F térbeli idom ) „csomagolható” úgy egy Q felülettel, hogy a Q felület egyértelműen meghatároz egy W konvex térbeli idomot.”
A Q felületről nem tudom megmondani, hogy folytonos-e vagy sem. Q vagy véges számú lépésben közelíthető olyan K felülettel, amelyik síkidomokból áll és folytonos, vagy Q nem véges számú lépéssel minden határon túl közelíthető egy olyan K felülettel, amely síkidomokból áll és folytonos.
( Az indirekt bizonyítás megmutatná, hogy Q mindenképpen folytonos, de most inkább lemondok erről. )
Mivel az előbbi K felületről tudom, hogy folytonos, jobb bármilyen F térbeli alakzatot „csomagoló” W idomot „csomagoló” Z idomról beszélni, amelyik síkidomok által határolt idom.
2008.05.05-i megjegyzés: Az előzőnél is jobbnak látszik az F térbeli alakzatot „csomagoló” Z (Zu) idomról beszélni.
A következő rész az új bizonyítás a konvex sajátosságra, 2008.05.05-i.
A fentiekben Z1 idom kezdetben egy nem feltétlenül szabályos tetraéder (háromszög alapú gúla) volt. Az konvex térbeli idom. Amikor ketté szelem egy metsző síkkal, az a metsző sík metszi több oldalát is. A ketté metszett oldalakból létrejövő új oldalak szintén síkidomok. Az így előállított Z2 idomnak (erről az idomról fentebb volt szó) van egy teljesen új oldala, ez a metsző síkra illeszkedő síkidom. Ezen kívül vannak metszéssel létrehozott oldalai és van legfeljebb egy olyan oldala, ami érintetlen maradt. A metsző sík az általa metszett oldalakkal 180°-nál kisebb szöget zár be, hiszen a metsző sík azonos oldalán vannak, 180°-os szöget akkor zárna be egy ilyen oldal, ha illeszkedne a metsző síkra, ez viszont lehetetlen, mert a metsző síkra már van egy illeszkedő oldal és az szöget zár be (0°-tól ill. 180°-tól eltérő szöget) a vele szomszédos oldalakkal. ( Ha 180°-nál nagyobb szöget zárnának be mégis a metszéssel létrejött oldalak a metsző síkkal, az azt jelentené, hogy ha pl. van egy egyezményes bal oldala a metsző síknak, akkor a sík bal oldalán lévő idom oldalaknak a metsző sík jobb oldalán kellene lenniük, de ezzel ellentmondásra jutok, tehát lehetetlen. ) Az előbbiek miatt a létrejött új élek mindegyike mentén 180°-nál kisebb szögeket zárnak be egymással a szomszédos oldalak, tehát ezek az oldalak páronként konvex alakzatok, vagyis nem hoztam létre konkáv tartományt Z2 térbeli idom felületében. A nem érintett oldal, ha van ilyen (és akkor Z1 esetében csak egy ilyen van) a vele szomszédos oldalakkal ugyanolyan szöget zár be, mint Z1-ben, tehát ezen élek mentén Z2 „örökli” Z1 konvex sajátosságait. A metsző sík illeszkedhet Z1 egy élére (és ekkor két csúcsára) vagy csúcsára, ilyen esetekben sem tudnak a metsző sík „egyezményes bal oldaláról” annak jobb oldalára kerülni oldalak, tehát a fentiekhez hasonlóan nem állnak elő konkáv tartományok. (Általánosságban síkkal bármilyen alakzatot metszek is két részre, annak részei nem változtatják helyüket a metszés következtében.) Ha a fentebbiek szerint eljárva előállítom Z3 idomot Z2 idomból, az előzőek alapján nem válhat Z3 konkávvá, ha Z2 konvex. Hasonlóan Z4 sem válhat konkávvá, és így tovább. Tehát Zu konvex idom. Akkor is az, ha u értékét minden határon túl növelem.
Célravezetőnek tűnhet a „térfogatos tömörség” fogalmát első megközelítésben így bevezetni : Hogy bármilyen térbeli idomok vonalak és pontok valamilyen M alakzatát ( M térbeli alakzatot ) „becsomagolom” egy Q felülettel, amely egy W idomot határoz meg. Ha Q idomról nem tudom, hogy folytonos-e, akkor bevezetem a Q-t véges számú lépésben közelítő vagy nem véges számú lépésben minden határon túl közelítő K folytonos felületet és az általa meghatározott Z idomot, majd vagy a W, vagy a Z térfogatát számolom. Ha valamiféleképpen megszámlálható az adott M térbeli alakzat idomainak, vonalainak és pontjainak összessége ( M térbeli alakzat elemei ) , akkor azt a számot osztom W vagy Z térfogatával. Így minél nagyobb a korábbiak szerinti „térfogatos tömörsége” M alakzatnak, annál nagyobb számot kapok. Csakhogy ez önmagában kevés. Alkalmazom a fenti módszert azonos méretű egyenként G-vel jelölt gömbök M alakzatára. Legyen ez egy olyan alakzat, amely egy különálló gömböt tartalmaz, valamint tartalmazza a lapcentrált kockarács egy „hézagmentes” rétegét, „foghíjak” nélkül, azaz ennek a rétegnek mindegyik G gömbjére igaz, hogy a G gömbök P középpontjai egy síkon helyezkednek el, és ezek a P pontok egyenlő oldalú háromszögek csúcsain találhatóak. A különálló gömb legyen ráhelyezve egy olyan „lyukra” amelyiket a fenti réteg három gömbje határoz meg. Tehát a alkosson három másik G gömbbel közösen egy olyan tetraéder alakzatot, amelyikre az I. pontban adtam egy levezetést. Legyen egy T tetraéder az az idom, amelyet a fenti négy G gömb P középpontja határoz meg ( vagyis ha a gömbök középpontjait elnevezem P1, P2, P3, P4 pontoknak, akkor T tetraéder azonos a P1P2P3P4 idommal ). Ennek térfogata kiszámítható az alap (valamelyik egyenlő oldalú háromszög T négy oldala közül ) és T magassága segítségével. Legyen a különálló gömb a G1 jelű és annak középpontja a P1. Látható, hogy az egy rétegben található G gömbök P középpontjai olyan egyenlő oldalú háromszögeket határoznak meg, amelyek G1-el háromszög alapú ferde gúlákat alkotnak. Ezek mindegyikének térfogata azonos a T tetraéder térfogatával. Ha M alakzat helyett bevezetem az F alakzatot, amely a P pontokból áll, akkor F-re igaz az, hogy „csomagolható” egy olyan Q felülettel, amely síkidomokból áll, és egy W idomot határoz meg. Ennek a W idomnak a térfogata egyenlő az előbb leírt T tetraéder és az összes fenti egyenlő oldalú háromszög alapú ferde gúla térfogatának összegével. Látható az is, hogy egy síkban elhelyezkedő pontok nem határoznak meg térbeli idomot, ezért ekkor nincs értelme „térfogatos tömörségről” beszélni. Ez persze csak a P pontokra igaz, G gömbök egy rétegű elrendezése esetén – az eddigiek alapján - van értelme „térfogatos tömörségről” beszélni. A négy G gömb alkothat tetraéder alakzatot is, a I. fejezet szerint, vagy az előző egyrétegű alakzatot, ahol középpontjaik két egymást határoló D oldalú egyenlő oldalú háromszöget képeznek, melyek egy síkon vannak. A kétféle G gömbökből álló alakzatra lehet „konvex csomagolással” W1 ill. W2 idomot képezni és azok térfogatát vizsgálni. Én nem tettem meg és nem tudom, melyik a kisebb térfogatú.
Az előző 2008.05.05-i javítás. Az eredeti mondat ez volt : „Most számítással nem ellenőrzöm, hogy ha a négy G gömb P középpontjai egy síkra illeszkednek és két egymást határoló egyenlő oldalú háromszöget alkotnak ( ha egy G gömb átmérője D, akkor D oldalú háromszögek ezek ), ennek az alakzatnak „térfogatos tömörsége” nagyobb-e, mint ha az előbbi T tetraéder alakzat „térfogatos tömörsége”, amelyben távolságuk szintén D.”
Egyrészt mindkét alakzat lapcentrált kockarácsos elrendezésű, másrészt az egyrétegű elrendezések esetére Simon Singh A Nagy Fermat sejtés című könyve szerint „1892-ben Axel Thue svéd matematikus bebizonyította a Kepler-probléma kétdimenziós megfelelőjét: egyetlen narancsrétegben – azaz ha narancsokat nem dobozba, hanem tálcára tesszük – a hatszögletes elrendezés a leggazdaságosabb.” Tehát egyrétegű elrendezésre van bizonyítás, elegendő olyan elrendezéseket vizsgálni, amelyekben a gömbök nem egy „réteget” alkotnak. Bármilyen négy azonos méretű G gömbre igaz, hogy a kölcsönös közelség követelményére legmegfelelőbb azok I. pont szerinti tetraéderes elrendezése, és ez akkor is így van, ha a „konvex csomagolásos” módszerrel meghatározott térközök térfogatösszege kisebb egy rétegű elrendezésnél, mint az I. pont szerinti tetraéderes elrendezés esetén !
2008.05.05-én a következő mondat törölve :
„Az I. pont levezetése szerint Kepler tételének követelménye alapján bármilyen egy rétegű alakzat kevésbé „sűrű”, mint olyan alakzat, amelyik több olyan rétegből áll, amelyek egymást határolják ( egymáshoz a lehető legközelebb elhelyezkednek el ), egymással párhuzamosak és lapcentrált kockarács elrendezésűek !”
Hogy Kepler tétele milyen „sűrűség” fogalmat követel meg, az a jó kérdés. Itt megpróbáltam erőszakosan az általam alkalmazott közelség követelményét úgy elsütni, mintha Kepler tétele bármi ilyet követelne meg. De semmi efféléről nem lehet szó.
A itt következő rész 2008.05.05-én végleg törölve, és nem marad a szövegben. Ennek oka az, hogy a G gömbök P középpontjai által meghatározott idomok módszere már be lett vezetve a fentiekben, az itt álló szöveg rendeltetése viszont ezen túl a P pontokra vonatkozó „tömörség” és „térfogatos tömörség” módszerének felvezetése volt. És hogyan viszonyul a kétféle „tömörség” egymáshoz. A végén mégis be kellett látnom, hogy feltűnően nagy az „egyéb kitételek” száma. Vagyis túl sok feltételt kell kikötni. Ha pedig nem a P gömbközéppontokra vonatkozó „konvex csomagolás” a cél, hanem a G gömbökre vonatkozó, az elsőre olyan módszernek látszik, ami kezelhetetlenül bonyolult számításokkal jár. Persze a számítások elkerülése volt a cél, azért erőltettem a P középpontok alkalmazását.
IV. Ellenvetések a „térfogatos” módszerek kapcsán
Egy elképzelt vitapartner egészen váratlan érvekkel védené, a senki által még nem ismert, de létező elrendezését, amelyik „sűrűbb” a lapcentrált kockarács elrendezésnél :
1. Az általa készített elrendezés olyan alap alakzatokból áll, mint pl. a szerves molekulák, ezek mindegyikére megmutatható talán, hogy nem „sűrűbb” valamiféle „tetraéderes” elrendezésnél, de ezek valamiféle kombinációja „sűrűbb” bármilyen „tetraéderes” szerkezetnél
2. Az általa készített elrendezés nem feltétlenül mutat ismételhető elemeket, mint pl. egy kristályrács ( hogy vannak-e benne ismétlődő elemek, az a vitapartner titka )
3. Az általa készített elrendezés az összetevők valamiféle konstellációja esetén mutat „sűrűbb” képet, mint a lapcentrált kockarács, tehát „sűrűsége” nem független az alakjától ( pl. egy, az összetevők méretéhez mérve ) nagy kiterjedésű „kifli” ez az alakzat, ezért nem elfogadható számára az olyan „csomagolástechnika”, amelyik ezt a rendkívül tömör kiflit konvex W térbeli idommá „hizlalja”
4. Az általa készített elrendezés csak egy bizonyos mérettartományban tud „sűrűbb” lenni, mint a lapcentrált kockarács, például bizonyos mérettartomány felett ( vagy alatt ) már nem „sűrűbb” a lapcentrált kockarácsnál
2008.05.05-i megjegyzés : Az 5. pontot nem belátható időre töröltem, mert problémásnak érzem, a „térfogatos tömörség” kedvéért próbálkoztam vele, de a későbbiek alapján fölösleges bajlódni ezzel a ponttal. Az 5. pont szövege ez : „ 5. Az általa készített alakzatban a „sűrűbb” és „kevésbé sűrű” részek nem alkotnak könnyen ( pl. síkokkal ) elkülöníthető tartományokat elrendezésén belül, ezért nem lehet olyan „konvex” tartományt kimetszeni ebből az alakzatból, amelyik tartománynak az átlagos sűrűsége eléri vagy meghaladja az alakzat átlagos sűrűségét ”
Beláthatóan a legegyszerűbb, ha komolyan veszem a fenti észrevételeket ( persze ezek az én észrevételeim ! ) akkor is, ha egyenként cáfolhatóak lennének, vagy lenne olyan bizonyítás, amelyik nem cáfolja az adott pontban foglaltakat, hanem igaz arra az esetre is. Jobb olyan utat választani, amelyen nem kell a fenti pontokban foglaltakkal bajlódnom.
Az 1. pontot úgy tudom megválaszolni, hogy ha az adott – azonos méretű gömbökből álló – alakzat egészét vizsgálom, akkor olyan módszert alkalmazok, amelynél nincs jelentősége kisebb részalakzatok térbeli kiterjedésének. ( De a részalakzatot vizsgálhatom a közelség követelménye alapján, térbeli kiterjedését nem tekintve ! ) Ha ezek a részalakzatok úgy illeszkednek egymásba, hogy az alakzat egésze „sűrűbb”, mint egy „hézagmentes” lapcentrált kockarács alakzat, az a vizsgálat során úgyis kimutatható.
A 2. pontra hasonló válasz adható : Olyan módszert kell alkalmazni, amelyik szempontjából nincs jelentősége annak, hogy vannak-e ismétlődő kisebb-nagyobb részalakzatok a vizsgált alakzat egészében.
Ha nem alkalmazok semmilyen „térfogatos” módszert ( „konkáv csomagolást” vagy „konvex csomagolást” ), akkor a 3. pont igaz is lehet. ( Mivel az V. pontban lesz térfogatos módszer, erre a 3. pontra még visszatérek. )
A 4. pontra való tekintettel olyan módszert kell alkalmazni, amelyik szempontjából a vizsgált alakzat mérete illetve gömbjeinek száma nem lényeges. Ha a négynél kevesebb gömbből álló alakzatokra nem jó a módszer, akkor az ilyen alakzatokat külön vizsgálni kell, de ez már „egyéb kitételt” jelenthet.
Az előbbi okokból 2008.05.05-én az alábbiak törölve :
„Ha nem alkalmazok „térfogatos” módszereket, akkor az 5. ponttal sincs gond, mivel nem akarok részalakzatok „konvex csomagolásával” foglalkozni. ( Egyébként belátható, hogy az 5. pont igaz lehet, ha „térfogatos sűrűséggel” vagy „térfogatos tömörséggel” próbálkozom ! Mivel az V. pontban lesz térfogatos módszer, az 5. pontban leírtakra is visszatérek. )”
2008.05.05-én az eredeti cím végleg törölve, de a szövegben megmarad :
V. Egy egyéb kitételeket tartalmazó részleges levezetés első lépései
V. Konkáv „teljes idom”, „szabadsági fokok”, a tetraéderes elrendezés univerzális volta
Az itt következő szövegek jelentős részét 2007. november 01-én töröltem, mert hibás levezetést tartalmaz. Egyes részek megmaradnak, de ezek nem szorosan összefüggő részek, mert közöttük más szövegrészek álltak.
A hibára utaló megjegyzés 2007. február 24-i volt, de így elveszíti aktualitását, ezért az sem marad itt.
Csak az alábbi részletek maradnak, a 2007. november 01-i kiegészítések és javítások zöld színűek benne.
A levezetés összegzés is megmarad, abban viszont utalok a hibára !
Legyen az azonos méretű, egyenként G-vel jelölt gömbök száma nyolc. Ezek közül négy alkosson az I. pontban leírt tetraédert. A másik négy illeszkedjen a tetraéder alakzat három-három gömbjéhez úgy, hogy újabb tetraéder alakzatokat alkot. Belátható, hogy hasonló módszerrel az alakzat nem építhető tovább. Az alakzat hasonló, mint a lapcentrált kockarács elrendezés, de nem az. Az I. pontban leírt közelségi követelmény alapján az is hihető, hogy „sűrűbbnek” kellene lennie. Igaz, hogy a „térfogatos sűrűsége” kisebb, mint nyolc azonos méretű gömbből álló lapcentrált kockarács elrendezésű alakzaté. - Vigyázat ! Itt a gömb középpontok által meghatározott térbeli idomok térfogatáról lesz szó ! A gömbök nem határozhatnak meg más térfogatot, mint tényleges térfogatuk összegét, ezt korábban tisztáztam / II. fejezet, A „térfogatos sűrűség” /. Tehát ez itt „egyéb kitételek” alkalmazását jelenti, mert térfogatot használok, ráadásul a gömb középpontok által meghatározott térbeli idomokat használom !
( Ezt könnyű számítás nélkül ellenőrizni : az egyszerűség kedvéért csak a gömbök középpontjai által meghatározott térbeli idomokat tekintem. Az előbbi alakzatban a gömbök középpontjai öt darab D oldalú tetraédert határoznak meg, D egy gömb átmérője, és ekkor nem veszem figyelembe azokat az idomokat, amelyeket az egymástól távolabb álló gömbök középpontjai határoznak meg. Nyolc darab előzőekkel megegyező nagyságú gömbből álló lapcentrált kockarácsos alakzat lehet olyan, amelyiknek középpontjai három D oldalú tetraédert és egy D oldalú négyzet alapú gúlát határoznak meg. Ez az előbbi „öt tetraéderes alakzaténál” kisebb térfogatot jelent, nyolc gömbre, tehát „sűrűbb” a lapcentrált kockarácsos alakzat, persze a fenti feltételekkel, és azok önkényesek, viszont bármilyen térfogat megállapítása önkényes.)
Az előbbi ilyen színű kiegészítés 2008.05.05-i.
A kisebb térfogatra törekvés nem lehetetlen módszer, de legalább egy „egyéb kitételt” jelent.
Pontosabban kettőt :
2008.05.05-én az alábbi ilyen színű szöveg törölve :
Az azonos méretű gömbökből álló alakzat olyan részalakzatait vizsgálom, amelyek az alakzat belsejében találhatóak, ezen részalakzatokat alkotó gömbök nem részei az egész alakzat határait bármilyen módon meghatározó gömböknek. Tehát semmilyen, az alakzat egészére alkalmazott „konkáv csomagolástechnika” vagy „konvex csomagolástechnika” nem érinti a vizsgált részalakzatokat, mert azok „jóval az alakzat határain belül” találhatóak.”
A törlés oka az, hogy a fentiek célja csak az lett volna, hogy elfogathatóvá tegye az alakzaton belüli részalakzatok térfogatos vizsgálatát. De a térfogatos módszert nem kell körülményes „felvezetéssel” elfogadhatóvá tenni. Az mindenképpen „egyéb kitétel”. Ezért a két pont a következő :
Az alakzatot „térfogatos sűrűség” segítségével vizsgálom
A részalakzatot alkotó gömbök középpontjai által meghatározott idomokat vizsgálom, mert azok térbeli határai egyértelműek és könnyen előállíthatóak, így „térfogatos sűrűségük” könnyen vizsgálható. Tehát nem veszem figyelembe, hogy a gömbök mekkora része esik kívül ezen térbeli idomok által meghatározott teljes idom határain. Viszont ha ismétlődő elemekből áll a részalakzat, akkor nagy számú gömbből álló részalakzatot vizsgálhatok.
Adható egy harmadik is :
Az előbbi idomokból álló „teljes idom” konvex legyen, mert így könnyebben összevethető más, azonos számú gömb által meghatározott alakzattal, amelyiknél szintén elvárás a konvex alak. A „teljes idom” kifejezés alatt a továbbiakban a gömbök középpontjai által meghatározott legkisebb idomokból ( tetraéderekből és egyéb idomokból ) álló összetett idomot értem.
Az alábbi, 2007. november 01-én törölt szövegrészt 2007. november 04-én visszaemeltem, de 2008.05.05-én végleg törölve :
„Az előbbi módszert megismételhető azzal a különbséggel, hogy elhagyom azt az „egyéb kitételt”, amelyik szerint egy alakzat belsejében található részalakzatot vizsgálok. Ez gondot okozhat, hiszen az alakzat gömbjeinek vannak olyan részei, amelyek kívül esnek középpontjaik által meghatározott idomok összességén ( a „teljes idomon” ). De a konvex „teljes idom” külső határait tekinthetem olyan idom külső határainak, melynek térfogatát vizsgálom. Hasonlóan ..”
Az alábbi, 2007. november 01-én törölt szövegrészt 2007. november 04-én visszaemeltem :
...előállíthatok valamilyen szabály szerint olyan konkáv „teljes idomot” is, amelyik nem csak a D oldalú tetraéderekből ( tetraéderekből ) áll, és annak térfogatát vizsgálhatom. Az ilyen módszerek nehezebben védhetőek, tekintve például a konvex „teljes idom” esetleges nagy belső térközeit, melyek szintén részei a „teljes idomnak”, vagy tekintve olyan konkáv „teljes idom” előállítását, mely valamilyen szabály alapján tartalmaz egyes idomokat, míg más előálló idomokat nem. Viszont részleges bizonyításhoz jók lehetnek ezek a módszerek is.”
Megjegyzem, hogy a tetraéderek előállításánál elegendő egy szabály is : a lehető legkisebb tetraéderszám érdekében a tetraéderek lehetőleg csúcsaikban érintsék egymást ( két szomszédos, egymással párhuzamos lapréteg gömbjeinek középpontjai által meghatározott két szomszédos párhuzamos sík közötti tartományon belül ! - hiszen ennek a tartománynak azaz a két síknak a túloldalain állhatnak éppen úgy a tetraéderek, hogy egy-egy oldaluk közös a tartományon belüli tetraéderekkel ).
A fenti 2008.05.05-i javítás. Az eredeti szöveg ez volt : „Megjegyzem, hogy a tetraéderek előállításánál elegendő egy szabály is : a lehető legkisebb tetraéderszám érdekében a tetraéderek lehetőleg csúcsaikban érintsék egymást ( két szomszédos, egymással párhuzamos lapréteg gömbjeinek csúcsai által meghatározott két szomszédos párhuzamos sík közötti tartományon belül ! - hiszen ennek a tartománynak azaz a két síknak a túloldalain állhatnak éppen úgy a tetraéderek, hogy egy-egy oldaluk közös a tartományon belüli tetraéderekkel ).”
A következőkben a „máshoz” szó kicserélve „máshol”-ra.
Ekkor az éleikkel egymást érintő tetraéderek helyenként kiadódnak a gömbök számától függően. A máshol nem elhelyezhető gömböket pedig úgy kell elhelyezni, hogy középpontjaik mindenképpen tetraédert alkossanak más gömbök középpontjaival, tehát ezekre nem érvényes az előző két mondatban leírt szabály, ezért az alakzat egyes esetekben lehet nem tökéletes lapcentrált kockarács elrendezésű. ( Viszont lehet az, ha úgy építem az alakzatot, hogy az előbbi két párhuzamos sík által határolt tartományból kilépve minden tetraéder éppen egy-egy oldalával határolja az az említett tartományon belüli tetraéderek valamelyikét. Korábban volt szó arról, hogy a lapcentrált kockarács szerkezet három egymást határoló egymással párhuzamos rétege többféleképpen állhat egymáshoz képest. Létezik olyan elrendezésük, amikor az egy síkra két oldalról egy-egy oldalukkal illeszkedő tetraéderek páronként egy-egy közös oldalukkal illeszkednek egymáshoz. ) A „párhuzamosság követelménye” valójában szintén kiadódó sajátosság, hiszen nem állhatna össze az alakzat, ha nem rendeződnének párhuzamos síkok mentén a tetraéderek. Ez más megfogalmazásban azt jelenti, hogy kisebb gömbszám esetén „ki tud fordulni” egyik-másik tetraéder a lapcentrált kockarács szerkezet által meghatározott rácspontokról, de nagyobb gömbszám esetén ezt egyre nehezebben teheti meg, ha a közelében már több tetraéder van. Ha egy tetraéder „kifordul” előbbiek szerint a helyéről, azaz oldalainak egyike sem párhuzamos szomszédos tetraéderek oldalaival, akkor egyes esetekben nagyobb térfogatú konvex „teljes idom” adódhat. Ha minél kisebb térfogatú konvex „teljes idomot” akarok előállítani, nem jó módszer egy irányban építeni az alakzatot, illetve az előbb említett két szomszédos lapréteg gömbjeinek középpontjai által meghatározott két párhuzamos sík közötti tartományon belül maradni, mivel ekkor akár minden második alkotó idom lehet D oldalú négyzet alapú gúla.
Budapest, 2007. 01. 14.
Az ilyen színnel jelölt megjegyzések és kiegészítések dátuma :
Budapest, 2007. 01. 20.
„Egyéb kitételeket” tartalmazó részleges levezetés összegzése
Négy azonos méretű gömb a közelség követelménye alapján olyan D oldalú tetraéder alakzatban van egymáshoz kölcsönösen a legközelebb, ahol a D oldalú tetraéder csúcsaira illeszkednek a gömbök középpontjai és D egy gömb átmérője
2008.05.05-i megjegyzés : tekintve az alább következő két pont bizonytalan voltát, előre nem látható időre törölve vannak, de ilyen színnel megmaradnak eredeti helyükön (az elsőt elsőre már én sem értem, legfeljebb emlékeztetőnek jók, a magam számára):
Nem elehet azonos méretű gömbökből álló alakzat összetevőinek közelség követelménye alapján legjobb elrendezése (amelyben a közelség követelménye maradéktalanul teljesül !), ha van olyan négy gömb az alakzaton belül, amelyek kölcsönösen egymáshoz a lehető legközelebb helyezkednek el, de nem alkotnak az előbbi D oldalú tetraédert középpontjaik – legyen a négy gömb alakzata R - és ezen négy gömb egyike sem alkot az R alakzaton kívüli gömbökkel egy olyan négyes csoportot sem, amelyen belül kölcsönösen közelebb van egymáshoz a négy gömb, mint R alakzat gömbjei – ez a pont vitatható, mert olyan „igazságot” fogalmaztam meg benne, ami adott, meghatározható térfogattal rendelkező teljes térbeli alakzat részalakzatára vonatkoztatva nem látszik helytálló állításnak, ha térfogat alapján sűrűséget számítok
A gömbök középpontjai által meghatározott D oldalú tetraéderekre is igaz a közelség követelménye, ezért nem lehet azonos méretű gömbökből álló alakzat a közelség követelménye alapján legjobb vagy a lehető „legmegfelelőbb” ( amely a közelség követelményének a lehető legteljesebb mértékben eleget tesz ), ha a D oldalú tetraéder alakzatok olyan kettő vagy több részalakzatot alkotnak az alakzaton belül, amelyek nem érintik egymást egy pontban sem ( tehát éppen ezért ez megfogalmazható ugyanígy a gömbök által alkotott részalakzatokra is : nem lehet egy D átmérőjű gömbökből álló alakzat közelség követelménye alapján a lehető „legmegfelelőbb” ( amely a közelség követelményének leginkább eleget tesz ), ha van olyan kettő vagy több részalakzat az alakzaton belül, amelyek nem érintik egymást egy pontban sem ) - az előbbi okbók ez a pont is vitatható
Ha az a cél, hogy minél kisebb tényleges térfogatot alkosson a D oldalú tetraéderek összessége ( tehát ekkor nem tekintem a D oldalú tetraéderek térközei által előálló egyéb térbeli idomokat ), akkor ennek a szempontnak olyan alakzat felel meg leginkább, amelyben a lehető legkisebb D oldalú tetraéder szám áll elő ugyanarra a gömbszámra
Ha megpróbálok az előző ** pont alapján alakzatot építeni, az lapcentrált kockarács szerkezetű alakzatot eredményez, vagy olyan alakzatot, amelyen belül a D oldalú tetraéderek „beforgathatóak” a lapcentrált kockarács szerkezet által meghatározott helyükre
** Korábban ez a mondat így kezdődött : Ha megpróbálok a fenti négy pont alapján …
(2007. október 29-i javítás)
Az itt található szöveget 2007 november 01-én töröltem.
Van más terület is, amellyel szerintem szoros kapcsolatban van a Kepler probléma : Például megfogalmazható két tétel ( én igaznak érzem őket, talán már van is rájuk bizonyítás, algoritmusokkal próbálkoztam, de egyelőre feladtam a tételek bizonyítását, mert időt vettek volna el ) :
Diszkrét pontok bármilyen síkbeli alakzatából egymást határoló háromszögek alakzata állítható elő, ha ezen pontok mindegyike nem illeszkedik ugyanarra az egyenesre. Ezek a diszkrét pontok alkotják a háromszögek csúcsait.* A háromszögek által meghatározott teljes síkidom felbontása háromszögekre nem mindig egyértelmű.
Diszkrét pontok térbeli alakzatából, ha a pontok mindegyike nem illeszkedik ugyanarra a síkra, egymást határoló háromszög alapú gúlák alakzata állítható elő. Ezek a diszkrét pontok alkotják a háromszög alapú gúlák csúcsait.* A háromszög alapú gúlák által meghatározott teljes térbeli idom felbontása háromszög alapú gúlákra nem mindig egyértelmű.
*
2007. 02. 13-i javítások
Budapest, 2007. 01. 21.
Minden itt található 2007. 02. 13-i szövegrészt töröltem 2007. november 01-én, majd 2007. november 04-én egyes részeit visszaemeltem :
Feltűnő, hogy a következő kitérő lehet a „szabadsági fokok” alkalmazása. Csakhogy meg kell mutatni, hogy összefügg a közelségből következő előbbi igazsággal. A lényege az, hogy az egyes gömbök hány másik gömböt érintenek. Ez megfogalmazható úgy is, ha tetraéderes részalakzatokból áll az alakzat, hogy a D oldalú tetraéderek egyes csúcsai összesen hány másik csúcstól vannak D távolságra. Minél nagyobb ez a szám, annál kisebb az alakzat „szabadsági foka”. Például a fenti nyolc gömbből álló alakzatra, amelyikben a gömbök középpontjai öt tetraédert határoznak meg, az előbbi szám 36. Viszont nyolc gömbből álló összefüggő lapcentrált kockarácsos alakzatnál ez a szám 28. Előre láthatóan nincs időm ezekkel foglalkozni néhány hónapig, de mindenkinek, aki benne van a témában szép eredményeket kívánok. Mások korábbi eredményei után nem néztem eddig sem és nem fogok utána nézni ezután sem, valaha tanár szájából hallottam, hogy az egyetemen – például szakdolgozat írásakor - „ügyesen kell ollózni”. Szerintem ez nem így van.
Budapest, 2007. 02. 13.
A fentiekből látszik, hogy ráhibáztam a konkáv „teljes idommal” valamire. A lapcentrált kockarácsnál a teljes „konkáv idom” szabályos tetraéderekből áll. Ha nem vezetne ez a módszer eredményre, önkényes módszernek tűnne, de eredményre vezet (egy tételhez), és ha már megvan az eredmény, könnyű észrevenni a fentebb leírt másik három tétellel a kapcsolatot. Ha a fenti tételek igazak, akkor a tetraéderes elrendezés univerzális dolog. Egy olyan elrendezés, amelyik szabályos tetraéderekből épül fel, szimmetriát mutat. Ha lapcentrált kockarács úgy épül fel, hogy mind a négy irányban megmarad a rétegek párhuzamossága, akkor a tetraéder alakzatok ismétlődnek egyre nagyobb léptékben, ez egy tökéletes szimmetria. (Ilyen szempontból a gömböknek csak az a jelentőségük, hogy szabályos tetraédereket hoznak létre.) Négy G gömb P középpontja az előbbi „tökéletes lapcentrált kockarácsban” egy T szabályos tetraédert alkot. A T tetraéderek helyébe megfelelő méretű G1 gömböket illesztve a kiindulásihoz hasonló gömb elrendezést kapok. Kezdhetem az egészet elölről : G1 gömbök P1 középpontjai szabályos T1 tetraédereket alkotnak. Ezek helyettesíthetőek megfelelő méretű G2 gömbökkel, és így tovább.
Budapest, 2008.05.05.
( Ha netán egyetemista vagy középiskolás téved erre a lapra : A fenti szöveg csaknem egészét és ezt a weblapot OpenOffice.org Writerben írtam ! )
Héder Gábor