A lapcentrált kockarács, mint a lehető „legsűrűbb elrendezés” vizsgálata

Bevezetés

Megjegyzés : néhány helyen a szöveget javítom, kiegészítem illetve pontosítom, ezek a szövegrészek barna színűek. Egyes mondatokat és mondatrészeket töröltem az eredeti szövegből, a törlések helyét nem jelzem, mivel bárki újra letöltheti a teljes szöveget.

Jelen „dolgozatomnak” nem célja teljes körű bizonyítást adni Kepler lapcentrált kockarácsra, mint „legsűrűbb elrendezésre” vonatkozó tételére. A V. pontban általam leírt levezetés célja egyszerű levezetést adni, az I. pont levezetésére és fogalmaira támaszkodva. Nincs jelentősége annak, hogy korábban ( vagy akár napjainkban ) hányan adták ugyanezt a ( részleges ! ) levezetést , mivel beláthatóan egyszerű indoklásokat használ és már az Ókorban is ismert lehetett, hiszen kizárólag Ókori fogalmakra épül.

A princípiumokkal kapcsolatban az Ókori megközelítést tartom irányadónak és sehol sem használok olyan levezetést, amelyik nem létezhetett akár már az Ókorban is. Nem néztem utána már létező eredményeknek illetve levezetéseknek, mivel ha nem követek el hibát, legjobb esetben alkalmazom a már korábban elért eredményeket. Ha „dolgozatom” nem tartalmaz alapvető elvi hibát, akkor a fentiek alapján mondható, hogy hasonló levezetést adhattak már több, mint kétezer évvel ezelőtt is. December elején beleolvastam Euklidész Elemek I. könyvébe. Az alapján a következők láthatóak:

1. A definíciók fogalmakat ( alapfogalmakat ) határoznak meg.

2. Az axiómák más igazságokból ( más igazságból ) illetve egymásból le nem vezethető alapigazságok, tehát nevezhetők a jó gondolkodás alapelemeinek vagy legkisebb lépéseinek. ( Szabó Árpád az Elemek fordításhoz írt Előszavában utal Arisztotelész axiómákkal kapcsolatos nézetére : „... az axiómák olyan állítások, amelyeknek igaz voltát „józaneszű ember nem vonhatja kétségbe”. ”. Én elfogadom Arisztotelész axiómákkal kapcsolatos nézetét. )

Euklidész csak a tételeiben felhasznált axiómákat adja meg, célja ezzel feltehetően az oktatás és – Szabó Árpád előbb említett előszava szerint – szintetikus, princípiumokra és már bizonyított tételekre épülő matematikai bizonyítás.

Tehát fölösleges minden bizonyításnál az axiómákból kiindulni, mert ha egy bizonyítás hamis, szükségképpen nem axiómákra épül, az ebből adódó bonyodalmak viszont elkerülhetőek, ha az adott tétel bizonyításakor minden felhasznált axióma előre fel vannak sorolva és indokláskor ezekre az axiómákra hivatkoznak. Euklidész talán ezért sorolja fel a tételeiben használt axiómákat. (Különben csak annyit lehetne biztosan tudni, hogy a tanuló vagy a vitapartner tudja-e cáfolni az érvelést vagy nem.)

Viszont nem feltétlenül szükséges azzal foglalkozni, hogy a matematikai gondolkodás vagy általánosságban a gondolkodás pontosan hány axiómát használ és lehetséges-e teljes listát adni ezekre. ( Én ezért axiómákat nem fogalmazok meg és nem sorolom fel azokat. )

3. A posztulátum olyan egyoldalúan megfogalmazott követelmény, amelyiknek jó esetben célja csupán a fogalmak tisztázása (kiterjesztése) . Mivel Euklidész elméleti szerkesztést végez, például az egyenes vonalak és a körök másképp viselkedhetnek, mint szerkesztő eszközökkel végzett valóságos szerkesztésnél. Ugyanez igaz a pontokra is. Ezek a fogalmak alkalmatlanok lehetnek bármilyen elméleti mértanhoz, ha nincsenek világossá téve elvárt tulajdonságaik posztulátumok segítségével. Láthatóan a definíciókkal meghatározott fogalmai a gyakorlatban alkalmazott szerkesztési feladatokból és gyakorlati szakmák matematikájából származnak. Például egy bőrtömlő felülete nem lehetett érthetetlen fogalom senki számára sem az Ókorban. Az sem lehetett szokatlan, hogy ennek a felületnek – a tömlő száján kívül is - lehetnek határai, ha a tömlőt elvágom. Ekkor felületének határai vonalak. Éppen ezért volt fontos külön definiálni egyenes vonalakat, egyenes szárú szögeket és síkfelületeket. A vonalak, szögek és felületek fogalma jóval tágabb volt, hiszen a gyakorlati szakmákból jöhettek. Feltűnő, hogy miért adta meg a 4. posztulátumot ? Lehetséges például, hogy az Ókori Görögországban egyesek mást értettek szögek alatt, mint mások. Ha például bármilyen felületre illeszkedő két egymást metsző vonal szögeket alkothat, akkor azok a vonalak lehetnek a három dimenziós tér mindegyik irányába „görbülő”, „kanyargó” vagy „cikázó” vonalak is. Ha így van, akkor derékszög lehet pl. egy adott gömbfelületen is, de az nem azonos a síkbeli derékszögekkel. Ha két egymást metsző vonal szögét mindig valamilyen felülethez kötöm, akkor két egymást metsző egyenes szögén sokféle szöget érthetek, mivel nem csak az általuk ( az egyenesek által ) meghatározott sík felületek vehetők figyelembe, hanem bármilyen felület, amelyikre illeszkedik a két egymást metsző egyenes. Ebben az értelmezésemben – ha helytálló ez az értelmezés ! - a 4. posztulátum azt tisztázná, hogy a továbbiakban mit ért majd derékszög alatt. Visszatérve a fogalmakhoz: Az egyenes ma használatos fogalmába beleépül a végtelen fogalma vagy a végtelen követelménye. Euklidésznél egyenes vonal egy olyan véges kiterjedésű egyenes vonal, amelyre megfogalmazható olyan követelmény (posztulátum), hogy meghosszabbítható – ekkor nyilvánvalóan meghosszabbítható akárhányszor. Ez a követelmény a végtelenség követelménye (posztulátuma).

Úgy is lehetne fogalmazni, hogy minden levezetés lehet „dialektika”, azaz egy másik személyt kell vitában meggyőzni, a fogalmi eltérések egyoldalú kikötések megfogalmazását tehetik szükségessé. Jó esetben ezek a kikötések posztulátumok, mert csak fogalmi eltérés van a vitapartnerek között, és nem az adott problémát értik másképpen. ( Probléma alatt megoldandó és tételben vagy tételekben megfogalmazható feladatot értek ). Ebből adódóan kölcsönös megállapodással definiált fogalmak szükségtelenné tehetik a posztulátumokat. Viszont ekkor a fogalom már nem a lehető egyszerűbb alapfogalom, hanem olyan, amelyik magában foglalhat olyan követelményt, amely posztulátummal is megadható.

Viszont egy konkrét „dialektikában” (kétoldalú vitában) lehet „hibás posztulátum” is (ami valójában nem posztulátum, de a vitapartner nem vizsgálta körültekintően az általa megfogalmazott követelményt, ezért – hibásan - posztulátumként vezeti be), ez lehet olyan elvárás, amelyik egyoldalúan elfogadott, de be nem bizonyított tétel ill. állítás. Vagy lehet olyan kikötés, amelyik leszűkíti a megoldandó feladatot egy részfeladatra, ahol könnyebb a bizonyítás, így adható egy részleges bizonyítás. Előfordulhat az is, hogy a kikötés egy másik, az eredetihez közel álló de azzal nem azonos probléma megfogalmazását jelenti, de a vitapartner ezt a lehetőséget nem vizsgálja. Mai értelemben ezek a követelmények megfogalmazhatóak feltételes módban úgy, hogy „ha igaz ez az állítás ill. tétel” vagy „vegyük igaznak ezt a tételt”. Vagy adható egy szűkebb „értelmezési tartomány”, amelyre a konkrét bizonyítás vonatkozik. Azt pedig mindenképpen vizsgálni kell, hogy egy kikötéssel nincs-e az eredeti problémától lényegesen eltérő probléma megfogalmazva.

Én viszont nem akarok túltenni egy Ókori – és egyébként nem is tehetséges – tanítványon, ezért a következőkben olyan kikötéseket tehetek, amelyek lehetnek posztulátumok, „hibás posztulátumok” vagy más kikötések. Azokat a kikötéseket vagy követelményeket, amelyeket nem tartok posztulátumnak akkor sem, ha fogalmi eltéréseket tisztáznak vagy éppen definícióba építhetőek, a továbbiakban „egyéb kitételeknek” fogom nevezni. ( Legfőbb okom erre az, hogy ezek nem fogalmat terjesztenek ki, hanem fogalmat „szűkítenek”. ) Egy adott probléma kapcsán megadott összetett fogalmak definíciója az eredetitől eltérő probléma megfogalmazását jelentheti. Továbbá lehetnek az „egyéb kitételek” olyan kitételek, amelyek vagy megadhatóak tétel formájában, de valamilyen megfogalmazott – de nem matematikai levezetéssel igazolt ! - okból ettől eltekintek, vagy lehetnek olyanok ezek a kitételek, amelyek leszűkítik a megoldás körét egy részterületre, szintén valamilyen – nem matematikai – megokolás alapján.

Teljes körű (tiszta) bizonyítás alatt olyan bizonyítást értek, amelyik nem használ „egyéb kitételeket”.

(„Egyéb kitételek” alkalmazása manapság használatos matematikai fogalmak helyett – például „kikötés”, „esetekre bontás”, stb. - nem elfogadható, viszont egész „dolgozatom” lényege az, hogy szigorúan ragaszkodom az Ókori alapokhoz. Éppen ezért mint kellően tehetségtelen „Ókori tanítvány”, próbálkozhatom bármilyen filozófia alapján fogalmak alkotásával. A „egyéb kitételek” ilyen gyűjtőfogalom. Megjegyzem, hogy az „Ókori görög bölcselet” szebb kifejezés, de én ilyet soha nem használtam.)

Az eredeti tétel nem tartalmazott „egyéb kitételeket”, ezért ha „egyéb kitételeket” adok meg, akkor mindenképpen új problémát állítok elő, ha a matematika alapfogalmai nem követelik meg azt az „egyéb kitételt” az adott tételre. Megemlítem azt az „irányt” is, amelyik irányban „egyéb kitételek” megfogalmazása fölöslegesnek tetszik, ezért azon az úton adható teljes körű (tiszta) bizonyítás.

Bármi, amit az alábbiakban leírok, szabadon felhasználható, részleteiben és teljes egészében. Hibái kimutathatóak, ha vannak ilyenek és a levezetés részeiben vagy egészében cáfolható, ha részben vagy egészben rossz bizonyítás. A levezetéseken túl tartalmaznak az alábbiak nem szorosan a témával foglalkozó részeket, ezeket más – de nem piros ! - betűszínnel jelölöm és olvasáskor „átugorhatóak”.

Egy kis eszmefuttatás a lapcentrált kockarácsról

2006. november 24-én kezdtem el írni jelen „dolgozatomat”. ( Ez a kis kitérő aznap született. ) Előző napon fejeztem be Simon Singh-től „A nagy Fermat sejtés” című könyv olvasását. ( A magyar nyelvű második kiadásét. )

Nagyon jó könyv, mindenkinek ajánlom, aki még nem olvasta. A könyv végén említ egy 1611-ből, Keplertől származó megállapítást ami a lapcentrált kockarácsra vonatkozik, miszerint is ez a létező „legsűrűbb elrendezés” pl. azonos méretű gömbökre. Ahogy a könyv szerzője idézi C. A. Rogers matematikust, a gömbelhelyezés angol szakértőjét : „Kepler állítása olyan állítás, amelyet a legtöbb matematikus elhisz és minden fizikus tud.”

A mű eredeti nyelvű kiadásának idején (1997.) még nem volt minden matematikus által elfogadottan hibátlan bizonyítás Kepler fenti állítására, legalábbis a szerző állítása alapján ez mondható.

….

Véleményem szerint a csiszolt kőkorszak óta a földi kultúra fejlődése összességében folyamatos, kellő történelmi távlatból ( mondjuk 100 ezer és távlatából ) tekintve az elmúlt 8-10 ezer év lehet egyetlen korszak. Persze tanultunk a Római Birodalom összeomlásáról és az azt követő „sötét középkorról”, mint a szellemi-kulturális hanyatlás időszakáról, de ez a beállítás erősen támadható. Erőteljes érzelmi alapja van viszont a hanyatlásról és „sötét” korszakról szóló történelmi tanításnak, mivel ennek a korszaknak a kezdetét hódító háborúk, tudósok elleni kegyetlenkedések, az addigi tudomány jelentős eredményeit elpusztító támadások valamint a kereskedelem, ipar és a hitelintézmények hanyatlása jellemezték. ( Ezzel a korszakkal kapcsolatban van egy – véletlenül sem eredeti ! - elgondolásom, itt nem fejtem ki, de a lényege abban áll, hogy az egyes emberek szabad akaratukból tett döntései vitték ilyen irányba az Európai történelmet, dönthettek volna másképp is, de nem tették, mivel valamiből nagyon elegük volt. Egyszerűen más utat választottak. )

Mi történne, ha létezne időgép, és vissza tudnék utazni az ókori Európába. / i. e. IV.- V. századba / (Persze nem ártana tudnom valamelyik akkor elterjedt kelta, esetleg latin vagy ógörög nyelvet.) Ha mondjuk kiskereskedő mellett dolgoznék, aki a piacra viszi portékáját vagy felvásárolt terményeit, és arról próbálnám meggyőzni, hogy a legjobb elrendezés azonos nagyságú narancsokra azok tetraéderes elrendezése, de ennek belátása szellemi csúcsteljesítmény, megeshetne, hogy azonnal fenéken billentene, lóduljak vagy kotródjak, amit most előadok még egy nyolc éves gyerek is tudja, de én még ahhoz is hülye vagyok, hogy egy tízéves kecskepásztor mellé elszegődjek segédnek, nem hogy „szellemi csúcsteljesítmény”!

I. Négy azonos méretű gömb „lehető legsűrűbb elrendezése”.

Tehát már az Ókor óta ismert tény, hogy négy azonos méretű gömb lehető „legtömörebb” elrendezése a négy gömb tetraéderes elrendezése lenne. Azért a feltételes mód, mert ha nincs definiálva a „legsűrűbb elrendezés” avagy „tömörség” fogalma, nem lehet ezen fogalmakra vonatkozó bizonyításról beszélni.

Ennek ellenére „tömörségre” agy „sűrűségre” vonatkozó definíció nélkül is kezelhető a probléma, mivel megfogalmazhatunk egy olyan kritériumot, hogy legyen a négy azonos méretű gömb mindegyike a lehető legközelebb a másik háromhoz. A levezetés akár az Ókor óta létezhet, talán éppen ebben a formában.

Legyen a gömbök mindegyike G betűvel jelölve. A G gömböket „tömörnek” feltételezzük, tehát kikötésünk szerint nem metszhetik egymást. Középpontjaikat jelöljük P-vel. A négy gömb indexelve : G1 (P1 középponttal) , G2 (P2 középponttal) , G3 (P3 középponttal) , G4 (P4 középponttal)

A gömbök átmérője legyen D.

Észrevehető, hogy bármely két P pont ( pl. P1 és P2 ) egymáshoz nem helyezhető közelebb, mint D távolságra, azaz P1P2 > D vagy P1P2 = D. Ennek oka az, hogy a gömbök nem metszhetik egymást. Ha éppen érintik egymást, azt egy pontban tehetik, az az érintési pont a P1P2 szakaszt éppen felezi, és ekkor a P1P2 szakasz éppen egyenlő D-vel. ( P1P2 = D ) Ennek oka az, hogy mivel a G gömbök sugara D fele ( D/2), ezért a G1, G2 gömbpár érintik egymást P1P2 felezőpontjában, de nem érintik egymást más pontokban, mivel derékszögű háromszögek segítségével belátható, hogy a P1P2 felezőpontjában egymást érintő P1 és P2 középpontú D átmérőjű gömbök csak egy pontban, P1P2 felezőpontjában érintik azt a síkot, amelyik a P1P2 felezőpontján áthalad és P1P2-re merőleges.

Tegyük fel, hogy sikerült elhelyezni a négy gömböt úgy, hogy azok mindegyike érinti a másik három gömböt. Ekkor az előbbiek alapján P középpontjaik távolságai ( P1P2, P1P3, P1P4, P2P3, P2P4, P3P4 ) éppen D -vel egyenlőek.

Valóban létezhet-e egy ilyen elképzelt elrendezés ? Igen, mert a P1P2P3, P1P3P4, P1P4P2, P2P3P4 háromszögek mindegyike egyenlő oldalú háromszög, mivel mindegyik oldaluk egyenlő D-vel. Így a P1P2P3P4 térbeli idom egy létező idom, mégpedig egy tetraéder, mivel négy egybevágó ( egymással egyenlő ) egyenlő oldalú háromszög határolja.

Vizsgáljuk ennek a tetraédernek a tulajdonságait, feltéve, hogy a G gömbök nem tömörek, tehát akár metszhetik is egymást, ha egymáshoz képesti helyzetük azt megengedi :

A fentebbiek alapján a G gömbök sugara D fele ( D/2), egy-egy gömbpár ( pl. G1,G2 ) érintik egymást a tetraéder egy élének felezőpontjában ( ez G1,G2 esetén P1P2 felezőpontja ), de nem érintik egymást más pontokban. Ugyanez belátható a másik öt gömbpárra. Minden egyes G gömbre állítható három olyan érintő sík, amelyeket a másik három G gömb csak érint, de nem metsz, ezért lehetetlen, hogy a gömbök metsszék egymást ( pl. a tetraéder belsejében ).

Tehát van egy alakzatunk, melyben a négy G gömb középpontja éppen D távolságra vannak egymástól. Ennél kisebb pedig a P1P2, P1P3, P1P4, P2P3, P2P4, P3P4 szakaszok egyike sem lehet feltételünk szerint, tehát a tetraéderes elrendezéssel teljesítettük az a kritériumot, hogy a négy G gömb mindegyike a lehető legközelebb legyen a másik háromhoz.

Az eddigiek alapján máris látszik a bizonyítás egy lehetséges iránya, amire mindenki könnyen rájöhet : ha megmutatjuk, hogy a lapcentrált kockarácsos szerkezetű, azonos méretű gömbökből álló alakzatban létezhet két olyan szomszédos gömbökből álló réteg, amelynek gömbjeinek középpontjai két egymással párhuzamos sík valamelyikére illeszkednek ( ez megmutatható ), akkor ezen gömbök középpontjai olyan tetraéderek csúcsain helyezkednek el, amelyeknek egyes élei illeszkednek egymásra ( a két sík között egy meghatározható tartományt töltenek ki, de közöttük térközök vannak – ezek a térközök D oldalú négyzet alapú gúlákon belüli tartományok, D egy gömb átmérője – valójában ezek felbonthatóak egymást határoló háromszög alapú gúlákra, melyek alapja D oldalú egyenlő oldalú háromszög). Erre az útra nyilván sokan rájöttek, és kezdetben azt hihették, hogy gyerekjáték innen a bizonyítás. ( Ez alapján már évszázadok óta lenne jó bizonyítás !)

A fentiek alapján tehetünk egy kis kitérőt : A négy gömbből álló tetraéder alakzatok meglétén túl más is észrevehető. A későbbiekben lesz szó Axel Thue svéd matematikus 1892-ben elért eredményéről : azonos méretű gömbökből álló egyrétegű lapcentrált kockarács elrendezésről ( ahol a gömbök középpontjai egy síkra illeszkednek és az elrendezés „hézagmentes” ) bebizonyította, hogy az a lehetséges legsűrűbb egyrétegű elrendezés. Egy ilyen egyrétegű elrendezésben a gömbök középpontjai egyenlő oldalú háromszögek csúcsain helyezkednek el. ( Hagyományos megfogalmazás szerint hatszögletes elrendezést mutatnak, mert minden egyes gömböt hat másik vesz körül hatszög alakzatban. ) Minden „hézagmentes” lapcentrált kockarács alakzat ilyen rétegekre bontható. ( Legfeljebb négy, de legalább egy olyan sík található, amely(ek) valamelyikével párhuzamos síkra illeszkedő középpontú gömbök találhatóak az alakzaton belül. Négy csak akkor, ha az alakzat következetesen úgy épül fel, hogy mind a négy ilyen sík „megmaradjon”. Az ilyen „gömbrétegek” alkotják az alakzat egy-egy rétegét. „Hézagmentes” lapcentrált kockarács alakzat alatt itt és a továbbiakban is olyan alakzatot értek, amelynek külső gömbjei – a szélein elhelyezkedő gömbjei - által határolt belső tartományaiban nincsenek olyan helyek, ahová még lehetne a többivel azonos méretű gömböt helyezni. ) Az ilyen rétegekről látható, hogy a lehető legközelebb helyezkednek el egymáshoz képest. ( Mivel egy A-val jelölt tetszőlegesen kiválasztott réteggel szomszédos C jelű réteg gömbjei egy-egy fentebbihez hasonló tetraéder alakzatok negyedik gömbjeit alkotják, ha az adott tetraéder alakzat másik három gömbje az A réteg három egymást érintő gömbje. Ha feltesszük, hogy a vizsgált lapcentrált kockarács elrendezésű alakzatnak nincsenek határai, akkor a fenti levezetés szerint a C réteg ezen gömbjeinek mindegyike a lehető közelebb áll az A jelű réteg most említett egy-egy gömbhármasához, ezért A és C réteg a lehető legközelebb van egymáshoz. (Valójában a „végtelen kiterjedésű rétegek” ilyen alkalmazása vég nélküli lépések sorozatát jelentheti, mert csak véges rétegeket tudok vizsgálni, de a tetraéderek építésével egy-egy lépéssel mindig „kijjebb tolom” a rétegek határait, ezeket a lépéseket vég nélkül ismételhetem, felfogásom szerint ez lehet a jó Ókori terminológia a végtelenre. Véges kiterjedésű rétegek esetén bármilyen elrendezésre lehetnek olyan gömbjei C rétegnek – a szélein – amelyek nem alkothatnak tetraéder alakzatot A réteg három gömbjével. De ezen gömbök olyan egymást érintő három gömb egyike lehetnek, amelyek tetraéder alakzatot alkothatnak A réteg egy gömbjével.) Ez minden szomszédos és egymással párhuzamos rétegre igaz, mivel A réteget tetszőlegesen választjuk ki a rétegek közül. A rétegekről Axel Thue matematikus bizonyítása elmondja, hogy a lehető „legsűrűbb” egyrétegű alakzatok. A szomszédos egymással párhuzamos rétegek pedig az előbbiek szerint a lehető legközelebb helyezkednek el egymáshoz képest az alakzaton belül, az I. pont közelségi követelménye szerint. Ez elegendő bizonyítéknak tűnik, „józan paraszti ésszel” gondolkodva. Csakhogy ez a levezetés már 1892-ben megszületett volna, ha matematikai szempontból elégséges bizonyítást jelent. ( Valójában nem teljes bizonyítás, mivel a gömbök elhelyezkedésére van egy „egyéb kitétel” ( feltétel ) benne : álljon olyan gömbrétegekből, amelyek mindegyikében a gömbök középpontjai egy-egy síkra illeszkednek. ) Egyébként, mint a későbbiekben említem, a lapcentrált kockarács elrendezés „gömbszerű” résztartományokra bontható. ( A fenti rétegek számtalanféle elrendezésben illeszkedhetnek egymáshoz, mivel három egymást követő réteg - egy réteg és a vele szomszédos és vele párhuzamos két másik réteg - többféle módon állhat egymáshoz képest. ) Ha a „hézagmentes” lapcentrált kockarácsos alakzat elegendően nagy ( legalább három egymással párhuzamos rétegből áll ), akkor találhatóak benne olyan gömbök, amelyeket tizenkét másik gömb vesz körül. Egy ilyen gömb a vele szomszédos tizenkét gömbbel fentebbi levezetés szerinti tetraéder alakzatokat alkot, tehát olyan tetraéder alakzatokat, amelyek mindegyikében a gömbök a lehető legközelebb állnak egymáshoz. (A gömbök középpontjai nyolc D oldalú tetraédert és hat D oldalú négyzet alapú gúlát határoznak meg benne.) A „tömörségre” később adok egy definíciót.

II. Közelség, térközök, „sűrűség” és „tömörség”

A közelség

Megjegyzés a címmel kapcsolatban : Kepler tétele valójában számtalanféle egymáshoz közel álló probléma gyűjtőneve lehet, mivel Simon Singh könyve is kétféle megfogalmazást közöl. A lehető legáltalánosabb érvényű megfogalmazás lehet ez : a lapcentrált kockarács elrendezés a létező legsűrűbb elrendezés. Kepler ismerhette vagy felismerhette a térbeli alakzatok határaival kapcsolatos nehézségeket, ezért nincs okom azt feltételezni, hogy kizárólag „térfogatos sűrűség” az a fogalom, amit használ. A legtöbb nyelv vélhetően ismeri a sűrűség fogalmát, anélkül, hogy területre ( illetve egységnyi területre), térfogatra ( illetve egységnyi térfogatra ) vonatkoztatná.

Az I. pont alapján látszik a jó irány : Ha gondot okoz azonos méretű gömbök elrendezésére „sűrűség” vagy „tömörség” fogalmának definiálása, mivel egyezményes vagy egyoldalú kikötések megfogalmazásához vagy „definícióba bújtatásához” vezetnek, akkor egyszerűbb, ha nem használunk ilyen fogalmakat ennek a problémának a keretein belül. Akkor olyan könnyen megfogalmazható alapfogalmakat lehet használni, mint két térbeli idom egymáshoz való közelsége. Erre könnyű definíciót adni. Az I. pontban éppen az egymáshoz mért közelség volt a megfogalmazott követelmény. Egy ilyen követelmény nehezen kezelhető, ha általánosságban „sűrűségre” akarjuk alkalmazni, viszont azonos méretű gömbök elhelyezésére tökéletesen alkalmazható. (A „tömörségre” még visszatérek, de Kepler tétele „sűrűségről” és nem „tömörségről” szól.) Például azt vizsgáljuk, hogy egy adott G gömb ( amelyik legyen pl. G1 jelű gömb ) hány másik G gömböt érint egy azonos méretű egyenként G-vel jelölt gömbökből álló M térbeli alakzaton belül. ( G1 gömb része az M alakzatnak és a G gömbök egyike. ) Vagy ennek a G1 gömbnek a középpontjában, mint térbeli szög csúcsában a G1 gömböt érintő G gömbök középpontjai milyen térszögben látszanak. Ekkor nem tennénk kikötést arra vonatkozóan, hogy M alakzat szabályosan ismétlődő részekből (elemekből) áll-e vagy sem (például valamiféle „kristályrács szerkezetű”-e vagy sem). Hasonlóan nem lenne jelentősége annak, hogy milyen térközök vannak a G gömbök között, vagy hogy milyen „térfogattal” vagy „sűrűséggel” rendelkezik M alakzat, mit értsünk M alakzat „térfogatán” vagy „sűrűségén”. Így a levezetés lehet „egyéb kitételektől” mentes, tehát ezen az úton adható teljes körű (tiszta) bizonyítás.

( A közelség követelménye nem a térközöket használja, hanem a térbeli idomok egymástól mért távolságait. Éppen ezért nincs jelentősége annak, hogy egy azonos méretű gömbökből álló alakzat belsejében melyek a térközök egy meghatározott tartományának méretei, milyen a térközök ezen tartományának az alakja és mekkora a térfogata. „Egyéb kitétel” nélkül lehetetlen megszabni a térközök határát az alakzat külső határainál. Egyáltalában mik a külső határai egy azonos méretű gömbökből álló alakzatnak ? Illetve mik a külső határai bármilyen térbeli alakzatnak ? A későbbiekben foglalkozom ezzel. Valójában a közelség követelményét is nehéz megfogalmazni nagy számú gömbből álló alakzatnál. A „sűrűség” definiálása közelség követelményével azt is jelenthetné, hogy egy alakzat akkor a „legsűrűbb”, ha annak összetevői a lehető legközelebb helyezkednek el egymáshoz képest. ( Ez még nem definíció ! Egy alakzat „sűrűségének” közelség alapján való definiálása két lehetséges fő irányt jelenthet – megeshet, hogy a két irány ugyanaz, vagy hogy más mód is létezhet : vagy az alakzat egymáshoz legközelebb lévő összetevőinek egymáshoz mért távolságait vizsgálom, vagy az alakzat összetevőinek távolságösszegét illetve az alakzat összetevőinek egymáshoz mért átlagos távolságát. Itt nem próbálkozom ilyen definícióval, hanem erre a témára visszatérek majd az V. pontban. ) Ekkor viszont válaszút elé érnénk : Ha a közelség követelménye egy „rendező elv”, akkor érthető, hogy egy fémlap két végén található atomok hiába törekednek egymás irányába, ha a közöttük álló más atomok ebben meggátolják őket. Viszont matematikai szempontból, a közelségi követelmény alapján egyszerűen áthelyezhetnénk például egy azonos méretű gömbökből álló alakzat gömbjeit egyik helyről a másik helyre. Az V. pont a közelség követelményével indul, figyelembe véve a Boross Lajos által említett „rendező elvvel” való kapcsolatot. ( Ez a „rendező elv” alapvetően azt jelenti, hogy a gömbök „egymás felé törekednek”. Mivel az Ókorban eredő erőkről nem lehetett sok fogalma bárkinek is, olyan, egyébként tévesnek tűnő „rendező elvet” is ki lehetne találni, hogy csupán az egymáshoz legközelebb lévő gömbök törekednek egymás felé – a közelségre törekvés elve alapján - , majd az így létrejött részalakzatok is egymás felé törekednek. A valóságban akár éppen így is történhet ez, ha létezik olyan erő, amelyik képes atomokat egymás felé mozgatni és összetartani, mivel ez az erő nagyságrendekkel nagyobb lehet a gravitációnál és lehet „kis hatótávolságú” is egyben. Tehát egy Ókori diák jó irányba tévedne, feltéve, hogy a matematika törvényeit és a természeti törvényeket azonosnak feltételezi és megfogalmaz egy ilyen elvet. Egy ilyen elv „egyéb kitételt” jelent. Az atomok az Ókorban csupán az anyag feltételezett legkisebb összetevői voltak, semmilyen módon nem vizsgálhatták azokat. ) A közelség követelménye érthetőbbé teszi a tetraéder alakzatú négy gömbös csoportok meglétét például a lapcentrált kockarácsban. Ugyanez az eredmény elérhető lehet térfogat számítási módszerrel is, de ekkor elsikkadna a Boross Lajos által említett „rendező elv” lehetősége. A térfogatot képező idom előállítási módjának függvényében lehetne akár az I. pont tetraéderes alakzata „sűrűbb” bármilyen, egy rétegű, négy azonos méretű gömbből álló lapcentrált kockarácsos alakzatnál – ez ekkor térfogatra vonatkoztatott „sűrűség”. A „rendező elv” viszont azt eredményezheti, hogy ha „törekednének” is arra az egyrétegű alakzat gömbjei, hogy minél közelebb kerüljenek egymáshoz, akkor sem tudnának tetraéder alakzatokat létrehozni, hiszen középpontjaik egy síkra illeszkednek, így a „rendező elv” is a sík mentén mozgatná a gömböket.)

Továbbá : Ha közelséggel akarnánk definiálni a „sűrűséget”, akkor figyelembe kellene venni azt, hogy bármilyen M alakzatra, amelyik azonos méretű G gömbökből áll, nem jó „sűrűség” definíció az, hogy akkor a legsűrűbb, ha a szomszédos G gömbök közötti távolság nulla, mivel több ilyen szabályosan ismétlődő részekből álló elrendezés létezik, a lapcentrált kockarács elrendezés csak egy ezek közül.

A „sűrűség” fogalmai

Az alábbiakban megmutatom, hogy térfogattal sem lehet „sűrűséget” definiálni, mivel nincs „egyéb kitételtől” mentes, tetszőleges térbeli alakzatra vonatkozó definíció rá.

A „sűrűség” kifejezés a továbbiakban jelentheti az I. pontban megfogalmazott közelség követelményét, és jelenthet valamilyen „térfogatra” vonatkoztatott darabszámmal megadható sűrűséget. Éppen ezért a továbbiakban a „sűrűség” kifejezést körültekintően alkalmazom. ( Igyekszem közelség követelménye esetén a „közelség” kifejezést használni. )

A fizikában alkalmazott sűrűség fogalom más utat sugall : A fizikában a sűrűség a tömeg és térfogat hányadosa. Hasonló „sűrűség” fogalom alkotható úgy, hogy szemben a fizikai sűrűség fogalmával, tömeget nem veszek figyelembe. Például ugyanolyan atomok ugyanazon izotópjaiból álló kristály atomjainak számát elosztom a kristály „térfogatával”. Később megmutatom, hogy az ilyen „térfogat” mindenképpen „egyéb kitételt” követel meg !

Hasonlóan : azonos méretű gömbökből álló alakzat gömbjeit megszámolom és osztom az alakzat általam definiált térfogatával. Legyen ez „térfogatos sűrűség”. Definíciójához szükséges valamilyen „térfogatot” is definiálni.

( Ez a „térfogatos sűrűség” sem azonos a fizikában alkalmazott sűrűség fogalmával, és nem is számolható át fizikai sűrűséggé egy valódi tárgy esetén, mivel ha a tárgy tömegét mérem, nem törődöm azzal, hogy össztömege azonos-e részecskéinek tömegösszegével. A tömeg lehet mért mennyiség vagy más mért mennyiségek alapján számított mennyiség, de ha számítják, annak meghatározása összetevőinek tömegösszegével nehézkes és viszonylag nagy hibát eredményező számítás lehet. Máskülönben minden fizikai – és műszaki - mennyiség esetén, akár mérik, akár más mért mennyiségek segítségével számítják ezeket, van hiba például a mérő eszköz pontatlansága miatt, ezért sem lehet azonos a fizikai sűrűség fogalom semmilyen matematikai „sűrűség” fogalmával . )

A „tömörség” fogalmai

A „tömörség” legegyszerűbben úgy definiálható, hogy egy tetszőleges M térbeli alakzat akkor a „legtömörebb”, ha alkotórészei ( azaz pontok, vonalak és idomok ) a lehető legközelebb vannak egymáshoz. Ez még lehet azonos fogalom közelség alapján definiált „sűrűséggel”, ha nem veszem figyelembe egy „rendező elv” lehetőségét. Az V. pontban megpróbálom majd vizsgálni a közelség alapján definiálható „sűrűség” illetve „tömörség” fogalmait. Viszont adható egy leszűkített „tömörség” fogalomra definíció : Egy tetszőleges M térbeli alakzat akkor a „legtömörebb”, ha alkotórészei ( azaz azt alkotó pontok, vonalak és idomok ) a lehető legközelebb vannak egy közös mértani középponthoz.

A „tömörség” általam fent bevezetett fogalma és a Kepler tétel „sűrűsége” közötti különbség jól látható : A Kepler tétel nem tesz semmilyen követelményt egy vizsgált M térbeli alakzat alakjára vonatkozóan. Például egy valóságos fémlap atomjainak elrendezésére vonatkoztatva lehet a lehető „legsűrűbb” szerkezetű, akkor is, ha vastagsága jóval kisebb mérettartományban van, mint szélessége és hossza. (Most szélessége és hosszúsága alatt Euklideszi értelemben vett szélességet és hosszúságot értek, tehát lehet ez a fémlap akármilyen alakú, akár körlap alakú is. ) Viszont a lehető legnagyobb távolságok alapján úgy tűnik, hogy az előbbi fémlap atomjaiból csak úgy tudom a lehető „legtömörebb” elrendezést elkészíteni, ha a fémtárgy alakja gömb alakú. ( Azt, hogy ez így van-e vagy sem, az V. pontban vizsgálom. )

A „térfogatos sűrűség”

Tegyünk egy megközelítést a „térfogatos sűrűség” ( ez tehát nem azonos a fizikában használatos sűrűség fogalmával ) fogalmára valamilyen „térfogat” segítségével. ( Ez az út csak „egyéb kitételek” segítségével járható, ezért már tudom, hogy nem eredményezhet teljes körű bizonyítást. )

Azonos méretű egyenként G-vel jelölt gömbök tetszőleges M térbeli alakzata esetén bármilyen n darab ( n pozitív egész szám) G gömbből álló alakzat „tényleges” térfogata ugyanaz, mivel akkor a „tényleges” térfogat az alakzatot alkotó idomok térfogatainak összege, az azok közötti térközök nem idomok. ( Ha egy G gömb térfogata Vg, akkor M alakzat tényleges térfogata n*Vg ) Bármilyen elrendezésre ugyanaz a „tényleges” térfoguk, mivel csak az alakzat összetevőit ( itt gömböket ) vehetem figyelembe. Tehát az alakzat „tényleges” térfogatára nem lehet térfogat alapján számított „sűrűséget” vonatkoztatni.

„Térfogatos sűrűség” fogalma alatt most azt érthetem, hogy egy adott alakú Y térbeli idomba az egyenként G-vel jelölt azonos méretű gömbökből álló M alakzat hány darab G gömbje fér bele, ha az M alakzatot és az adott Y térbeli idomot megpróbálom egymásra illeszteni. Feltűnő, hogy eszerint az így értelmezett „térfogatos sűrűség” függ az M térbeli alakzat és Y térbeli idom alakjától. Ha valamiféleképpen „fel akarom tölteni” az Y térbeli idomot, mint egy „tartályt” M alakzattal, akkor máris van kikötésem M alakjára vonatkozóan.

Akkor megfordítom :

Tegyük fel, hogy bármilyen M térbeli alakzatra megpróbálok találni olyan Y térbeli idomot, amelyik a lehető legjobban közelíti M alakzat alakját. Egy ilyen Y idom lehet konkáv, mivel felülete „rásimul” M alakzatra.

Hol van az előbbi Y konkáv térbeli idomnak a határa ? ( A felületének a határa. ) Ki lehetne találni egy szabályt erre vonatkozóan. Például Y felülete ne „horpadjon” be két szomszédos ( az egymáshoz legközelebb álló ) G gömb közé annyira, hogy a két G gömb középpontját összekötő szakasz kívül essen Y felületén. ( De ekkor még például ilyen értelemben egy fenyő felületének határa lehetne bárhol a fenyőn belül, mert valamilyen felülettel utat találtam atomjai között a belsejébe. ) Ilyen követelmény szerint lehetne olyan az Y idom, amelyik tele van „lyukakkal”, mert felülete minden G gömb felületére és a szomszédos G gömbök középpontjait összekötő szakaszok gömbökön kívüli pontjaira minden határon túl közelít ( kivételek azok a pontok, amelyek az előbbi szakaszok és a G gömbök felületének metszéspontjai, mivel ezekre a pontokra nem közelíthet az előbb szakaszokkal illeszkedően Y felülete ). Ekkor Y térfogata azonos lenne M alakzat fentebb leírt „tényleges” térfogatával, vagyis n darab ( n pozitív egész szám ) egyenként G-vel jelölt azonos méretű G gömbből álló alakzatra előbbiek szerint közelítő felületű Y térbeli idom térfogata a gömbök bármilyen elrendezése esetén n*Vg lenne, ahol Vg egy G gömb térfogata.

Y előállítására vonatkozó szabályomat ekkor módosíthatom : Y felülete legyen olyan, hogy ne essen kívül ezen a felületen M alakzat bármelyik három egymással szomszédos G gömbjének középpontjait összekötő szakaszok által meghatározott háromszög síkfelületének gömbökön kívüli része.

Ekkor négy egyenként G-vel jelölt gömbre találhatok olyan elrendezést, amikor nem kell az előbbi háromszögekkel bajlódnom: A négy G gömb középpontja illeszkedjen egy egyenesre. Ekkor Y térfogata még mindig 4*Vg, ahol Vg egy G gömb térfogata. Tehát a lehető legkisebb térfogat. Ez az alakzat mégsem tesz eleget Kepler „sűrűség” követelményének, holott „térfogatos sűrűsége” a lehető legkisebb. Sőt : Az I. pont szerint a Kepler tételnek négy gömb esetén olyan a tetraéderes elrendezés felel meg, amelyben mindegyik gömb érinti a másik hármat. Ennek az elrendezésnek ( a tetraéder alakzatnak ) viszont nem a lehető legkisebb az előbbiek szerinti „térfogatos sűrűsége”, mert Y idomon belül van a gömbök közötti térköz egy tartománya. A térköz tartományának határait éppen Y felületének fenti előállítási szabályai adják meg. Lehetne úgy is okoskodni, hogy Y felületének előállítására még bonyolultabb szabályt kell tenni. Ez nem lehetetlen, de jól látható, hogy a következő követelmény valamilyen formában térbeli idommal függene össze, például háromszög alapú gúla alakzatokat is figyelembe kellene venni Y felületének előállításakor. Vagy lehetne a gömböket határoló síkok segítségével valamilyen szabály szerint előállítani konkáv határoló felületeket. Tovább haladni ezen az úton viszont teljesen felesleges : Y előállításának fenti szabálya tökéletesen alkalmas lehet például egy valódi fenyőfa felületének matematikai közelítéséhez. Általánosságban a szomszédos összetevőket - pontokat, vonalakat és idomokat, általában részalakzatokat - határoló síkokkal képzett konkáv felületű Y idom lehet a legmegfelelőbb. De ez „egyéb kitételt” jelent akkor is, ha egyezményes módszer !

Ha M alakzat n darab egyenként G-vel jelölt azonos méretű gömbökből áll, amelyek gyöngyfüzérszerűen kapcsolódnak egymáshoz és a „gyöngyfüzér” két végén egy-egy G gömb csak egy másik G gömbbel érintkezik, míg a többi G gömb mindegyike pontosan két másik G gömbbel, akkor előállnak ugyan az fentiek szerinti háromszögek, de ezek nem zárnak közre térközöket, tehát a füzérre közelítő Y idom térfogata éppen n*Vg lenne, ha Vg egy G gömb térfogata. Ez a lehető legnagyobb „térfogatos sűrűséget” eredményezi, M alakzat mégsem a lehető „legsűrűbb” az alakzat Kepler tétele szerint. Hasonlóan, ha n elegendően nagy szám, akkor ilyen gyöngyfüzérekből felépíthetek úgy egy „fenyőfa” alakzatot ( valódi fenyőt formázó alakzatot, amelynek a törzse, ágai és levelei egy-egy egysoros „gyöngyfüzérből” állnak és az egyes füzérek csak egy-egy pontban érintik egymást ), hogy az alakzatra előbbiek szerint illesztett Y idom térfogata éppen n*Vg, tehát a lehető legkisebb térfogat, ezért az M alakzat „térfogatos sűrűsége” a lehető legnagyobb, ez az alakzat mégsem a lehető legsűrűbb a Kepler tétel értelmében.

A „térfogatos sűrűség” tárgyalását ezzel be is fejezem. Láthatóan „egyéb kitételek” megfogalmazását követeli meg. Y idom előállítására bevezettem egy szabályt. Alkalmazhatósága akár további „egyéb kitételek” bevezetését is jelenti. ( Az V. pontban visszatérek a „térfogatos sűrűséghez”, mivel azonos méretű gömbökből álló alakzatokon belüli rész alakzatok vizsgálatára alkalmas, „egyéb kitételek” alkalmazásával. Ha bárkinek sikerül így korábban még nem létező bizonyítást adnia Kepler tételére, az egy nagyon jó „nem teljes körű” bizonyítást jelenthet. )

Figyelemre méltó az eddigiek alapján az a tény, hogy találhatunk valamiféle definíciót tetszőleges térbeli alakzat térbeli kiterjedésének határaira és az ezen határokhoz ( felülethez ) tartozó térbeli idom térfogatára, amelyet az alakzat valamiféle térfogatának tekinthetünk, de ez a definíció „egyéb kitételek” megfogalmazását teszik szükségessé, ha bármely alakzatra keresem annak térbeli határait. De vannak olyan alakzatok, amelyekre nincs szükség „egyéb kitételre” térbeli kiterjedésük megállapításához és térfogatuk számításához. A geometria tantárgy által tárgyalt térbeli idomok ilyenek ! ( Például a tetraéderek is ilyenek. ) Éppen ezért vannak olyan térbeli alakzatok, amelyeknél nem okoz nehézséget „térfogatos sűrűség” számítása, mivel olyan térbeli idomokból épülnek fel, amelyek az ilyen számítást lehetővé teszik. ( Az V. pontban erre a témára visszatérek. )

III. A „térfogatos tömörség”

A kérdést úgy is lehet kezelni, hogy vajon egy fenyőfának mekkora a térfogata. Az egyik irány a fentebbi szabályok szerint előállított térfogat. ( A fa tényleges térfogata itt mást jelentene, mint a fentebbi „tényleges” térfogat, mivel a fenti „tényleges” térfogat azt jelentené, hogy a fenyőnek, mint térbeli alakzat „tényleges” térfogata az összetevőinek térfogatösszege. Ekkor melyek ezek az alkotóelemek ? A sejtjei ? A molekulái ? Az atomjai ? Nukleonjai és elektronjai ? Mindig találnék kisebb alkotórészeket, míg el nem jutnék a feltételezett kvarkokig, és mindegyik esetben térközöket találnék, amelyek nem részei az összetevőknek, hanem az azok közötti tér meghatározható üres tartományait jelentik. ) Tehát a II. pontban említett Y térfogat előállítása a jó út. Például a fenyő felületének „matematikai” határait a fenyő olyan legkülső atomjaiból álló és egymással kölcsönösen szomszédos ( egymáshoz legközelebb álló ) három-három atomot tartalmazó alakzatok által meghatározott háromszögek jelentenék, amelyekre a II. pontban leírt Y idom felülete minden határon túl közelíthet. ( Mert ezek az atom hármasok „legkívül” találhatóak a fenyő adott tartományában. )

Egy így értelmezett térbeli kiterjedés és „térfogat” közel áll a fizikai térfogathoz. Próbálkozhatunk folyadék ( pl. víz ) kiszorításával. Belemártjuk a vízbe a – mondjuk gyökerei felett kivágott - fenyőfát egy vízzel teli tartályba úgy, hogy ne legyenek a fenyő gallyai ill. levelei között és a törzsén légbuborékok. Ekkor megnézzük, hogy mekkora térfogatú vizet „szorított ki”, azaz a fenyővel együtt mennyivel nőtt a tartályban lévő víz térfogata. Így eljutnánk a fenyő „térfogatának” fizikai fogalmához. Csakhogy ha valaki mondjuk karácsonyfát állít otthon, a fenyő kiterjedését is figyelembe kell vennie, nem csak az előbbi megközelítés szerinti „térfogatot”. ( Elsősorban a fenyő kiterjedését kell figyelembe vennie. )

A fa kiterjedésére és térfogatára nézve két nézőpontunk van :

1.

Igaz, hogy rengeteg „hely” van a fenyő ágai és tűlevelei között, és azokat – ha karácsonyfát állítunk a fenyővel - a díszítés szempontjából ki tudjuk használni. Hasonlóan a fa alatti tér is kihasználható, mert oda kerülhetnek pl. egyes ajándékok. Ilyen megközelítéssel eljuthatunk annak a szobának a levegőjét alkotó molekulákig, amelyik szobába elhelyeztük a fát. Eszerint minden térrészt ki tudunk használni a fa ágai és levelei között, mert a fa ágai levelei közé kerül szobánk levegőjének egy része. Így a fa tényleges kiterjedésének határa matematikai értelemben éppen felületének határa.

2.

Egyébként a fa szobánk légteréből az előbbi „tényleges” térfogatnál nagyobb térrészt foglal el. Számtalanféle módon lehetne meghatározást adni arra nézve, hogy végtére is mekkora térrészt foglal el egy fenyőfa. Ezek bármelyike önkényes definíció, mert lehetne adni attól eltérő definíciót is. Az alapkoncepcióm lehet az is, hogy egy olyan nagyon vékony rugalmas hálót húzok a fára, amelyik nem mozdítja el a faágakat és leveleket. Lehetne ez egy olyan fa, aminek aránylag hosszabb csupasz vagy megcsupaszított törzse van, ahol már nincsenek rajta ágak. A háló végét összehúzhatnám akár közvetlenül az ágak alatt, de lehúzhatnám egészen a fa tövéig. Ha a fa tövénél van összefogva a háló, és a háló természeténél fogva nem olyan rugalmas, hogy „konkáv horpadások” keletkezzenek rajta, akkor - feltéve, hogy a fa leghosszabb ági vannak legalul, és körkörösen helyezkednek el - ez a háló elveszi a fa ágainak csúcsai és a törzs közötti térnek azt a részét, amelyik a legalsó faágak végeit a fa törzsének legalsó külső peremével összekötő egyenes szakaszok által határolt térrész. ( Ha a hálón „konkáv” horpadások vannak, akkor a háló egy olyan Y idomot állít elő, amelyik köztes állapot a „konvex” állapot és a II. pontban leírt – konkáv - idom között. Számtalan ilyen köztes felület állítható elő újabb és újabb „egyéb kikötések” alkalmazásával. Éppen ezért ezekkel a „konkáv” felületekkel nem próbálkozom. ) Tehát a háló nélkül lehetne a fa alá tenni egynéhány olyan nagyobb ajándéktárgyat, amelyeket ugyanúgy már nem lehet elhelyezni, ha ott van a háló. Viszont egy ilyen hálónak lenne két jó tulajdonsága :

- Az ilyen hálóval „felruházott” fa alakja közelítene egy olyan konvex térbeli idomot, aminek az előállítására már lehet találni valamiféle definíciót.

- A háló „bünteti” a kiszögelléseket. Minél kevesebb kinyúló vagy kiszögellő része van a fának, annál „tömörebb” alakzat.

A fenti két megközelítés közötti különbség a fentiek alapján nyilvánvalónak tűnik :

1.

A fa fentiek szerinti fizikai kiterjedése valódi kiterjedés, az ahhoz kapcsolódó „térfogata” valódi térfogat, a fa sűrűsége úgy adódik, hogy a fa tömegét osztom a fa térfogatával. Ennek megfelelően bevezethetnék egy „térfogatos sűrűség” fogalmat is, ha nem fáról, hanem olyan tárgyról lenne szó, amelyet alkotó részek ugyanolyan atomok ugyanazon izotópjai lennének. Ekkor ezeket az atomokat összeszámolom, és ezt a számot osztom a tárgy tényleges térfogatával. Ez tehát „térfogatos sűrűség” alkalmazását jelenti, és azt a II. pontban már vizsgáltam.

2.

A fa kiterjedése nem azonos a fa tényleges térfogatával. A fa ágai és levelei között sok olyan térköz van, amit csak levegő tölthet ki, ha a fa egy levegővel teli szobában áll. Hasonlóan : Egy épület kiterjedése ( és ahhoz kapcsolódó térfogata ) sem azonos az egyes építőelemeinek és berendezési tárgyainak kiterjedésével ( és térfogatuk összegével ). Egy épület kiterjedése ( és az ahhoz kapcsolódó térfogata ) magában foglalja a falai közötti térközöket is.

A hálóval előállított konvex „csomagolt” térfogat önkényes, mert ha igaz is, hogy csak egyféle módon lehet konvex „csomagolt” idomot képezni a fából, számtalanféle konkáv „csomagolást” lehet alkalmazni egy fára, hasonlóan önkényes szabályok ( azaz újabb „egyéb kikötések” szerint ). Egy érv szól mellette – és ez még nem matematikai bizonyítás ! - , mégpedig az „egyéb kikötések” várhatóan kis száma és a II. pont szerint leszűkített „tömörség” fogalmával való kapcsolata.

Mi értelme a „tömörségi” definíciómnak, bármi legyen is az ? Fentebbiek szerint ez nem jó út a bizonyításra, mivel valamiféle „tömörség” definíciójával próbálkozom, és ez önkényes definíció lesz akkor is, ha kölcsönösen elfogadott definíció, mivel „egyéb kikötéseket” követel meg. Úgy látszik, hogy a „tömörség” bármilyen „sűrűségnél” szigorúbb követelmény lehet, mivel nem közömbös a vizsgált alakzat alakja.

Másfelől a fenti „konvex csomagolás” valamiféle hálóval olyan általam előállított konvex idomot és ahhoz rendelhető térfogatot jelent, ami nem veszi figyelembe a fa tényleges (átlagos) „térfogatos sűrűségét”, ami a fa tényleges térfogatával számítható. Ha ezt a „konvex csomagolt” térfogatot használom valamiféle „térfogatos sűrűség” számításához, a II. pontban leírt „térfogatos sűrűségnél” kisebb értéket kapok. Ennek oka az, hogy a „konvex hálóval” előállított idom nem csak a kiszögelléseket „bünteti”, hanem minden „fölösleges” térközt, ami a fára illesztett ( a „konvex háló” által meghatározott ) konvex idomon belül található. Tehát ha a fát össze tudom „gömbölyíteni”, mégpedig minél „sűrűbbé” préselve az ágait és leveleit, akkor az így előállított új alakzat „tömörebb”, mint a eredeti fa, mert kisebb térfogatú „konvex csomagolt” idommal lehet felületét közelíteni, így ugyanazon összetevők ugyanazon számát kisebb térfogattal osztva kisebb „térfogatos sűrűséggel” rendelkezik. Mivel ilyenkor, ha azonos méretű egyenként G-vel jelölt gömbökből álló M alakzatra vonatkoztatom az előbbieket, más a „térfogatos sűrűséghez” kapcsolódó Y idom előállási szabálya, a továbbiakban ilyen „konvex csomagolt” Y idom alkalmazásakor „térfogatos sűrűség” helyett a „térfogatos tömörség” kifejezést használom.

Egy lapcentrált kockarácsos elrendezést mutató alakzat felépítésére kitalálható valamiféle szabály. Számtalan ilyen szabály lehet, aszerint, hogy mi a cél. Legyen a cél az, hogy egy azonos méretű, egyenként G-vel jelölt gömbökből álló M alakzat minden egyes G gömbje olyan mértani helyen legyen, ahol akkor is állhatna, ha az M alakzat része egy olyan N alakzatnak, amelynek vannak olyan tartományai, amelyeken belül a G gömbök a lehető „legsűrűbben” helyezkednek el, azaz N „hézagmentes” tartományokat tartalmaz. Másképp fogalmazva : Legyen N egy olyan alakzat, amelyik h darab ( h pozitív egész, és legyen elegendően nagy szám ) azonos méretű, egyenként G-vel jelölt gömbből áll és ezek olyan lapcentrált kockarács szerkezetet alkotnak, amelyen belül vannak olyan tartományok ( tehát a belsejében ), ahová további G gömböket nem lehet elhelyezni.( Tehát ezek a tartományok „hézagmentesek”, a lehető „legsűrűbben” tartalmazzák a G gömböket. ) Ezen tartományoknak legyen része az M alakzat. M alakzatot úgy állítom elő, hogy elveszek a gömbökből, mégpedig önkényes szabályok szerint. Ha elegendően nagy szám h, akkor a gömbök elvételével eljuthatok egy olyan M alakzatig, amelyik éppen valamilyen fenyőfát mintáz (fenyőfára emlékeztető alakja van, akár külön „ágakkal” és „tűlevelekkel” ). Álljon ez az M alakzat n darab G gömbből. Ekkor az n darab G gömbből előállítok egy olyan B alakzatot, amelyik ugyanabból az n darab G gömbből áll, de „sűrűbben” helyezem el a G gömböket az M alakzat elrendezéséhez képest. Például úgy helyezem el azokat, hogy számos rétegből álló „hézagmentes” lapcentrált kockarácsot alkotnak, az alakzat belsejében minden rácshelyen egy-egy G gömbbel. Viszont ugyanaz a rácsszerkezet jellemzi. Lehet M olyan alakzat („fenyő”), amelynek törzse, ágai és levelei egy sorba felfűzött G gömbökből áll. ( A törzs, az ágak és a levelek „vastagsága” legfeljebb egy G gömb átmérőjét teszik ki. ) Ne legyen kihagyás M egyes G gömbjei között ( érintsék egymást).

A két alakzat közül a Kepler tétel értelmében mindenképpen B alakzat a „sűrűbb” .

Várhatóan B „térfogatos tömörsége” is nagyobb, mint M alakzaté, de az nem független B alakjától. Ennek oka az, hogy a fenyőszerű alakzaton belül nagyobb G gömbök közötti térközök térfogatösszege B alakzat esetén, mint M alakzat esetén. Hogy valóban minden esetben B rendelkezik nagyobb „térfogatos tömörséggel”, azt most nem vizsgálom. Figyelemre méltó, hogy nem elegendő, ha egy alakzat lapcentrált kockarács elrendezést mutat. Az is szükséges, hogy minél kevesebb „hézag” legyen ebben az elrendezésben. Az is figyelemre méltó, hogy előre láthatóan a „térfogatos tömörség” vizsgálata szempontjából közömbös, hogy M alakzat gömbjeit valamilyen szabály szerint helyezik el.

A „konvex csomagolás”

Bármilyen F fenyőfából ( későbbiekben F tetszőleges /bármilyen/ térbeli alakzat lesz, de itt még fenyőfa ) előállíthatok egy, a fenti „konvex hálós” csomagoláshoz hasonló módon egy W térbeli idomot a következők szerint :

Az F fenyőre olyan érintősíkokat illesztek, amelyek mindegyike legalább az F fenyő egy pontját érintik. Ha csak egy pontját érinti az érintősík, akkor legyen az az egy érintési pont W felületének része. Ha legalább két pontját érintik, az érintő síkon egyenes szakaszokat határoznak azok a pontok, amelyekkel az érintősík érintkezik. Ezeknek – a végtelenül sok – érintési pontoknak és egyenes szakaszoknak az összessége adja az új W térbeli idom Q felületét.

Felteszem, hogy van W idom Q felületének „konkáv” tartománya. Ezt valamiféle ”horpadásnak” kell elképzelni. Ekkor lenne olyan sík, amelyik W-t metszi és amelyik mentén W felülete konkáv síkidomot képez. ( Tehát ez a síkidom W idom Q felületének és az előbbi metsző síknak a metszete. ) Ennek a konkáv síkidomnak az S vonalára ( arra a vonalra, ami körülhatárolja ) illeszthető olyan E érintő sík, amelyik az S vonal egy pontját érinti és ezt a síkidomot metszi.

Egy ilyen E sík metszené W idomot is, mivel az S vonalon belüli síkidom része W idomnak. Csakhogy W idom Q felületének része S, és W idom Q felületére igaz, hogy nincs olyan érintősíkja, amelyik W idomot metszi ( mert akkor az nem érintősík, viszont W idom Q felületét kizárólag érintősíkokkal képeztem ).

Tehát W nem lehet „konkáv” idom.

Az F fenyő bármely két pontját összeköthetem egyenes szakaszokkal. Ekkor ezek az egyenes szakaszok vagy a W térbeli idom Q felületén helyezkednek el, mivel illeszkednek egy érintősíkra, vagy legalább egyik végük illeszkedik W idom Q felületére, míg más pontjaik – és másik végpontjuk – F-en belül találhatóak. Ha ezek egyike sem áll fenn, szükségképpen a W térbeli idomon belül helyezkednek el, hiszen ha nem így volna, az egyenes szakasz valamelyik végpontja kívül esne W idomon. De W idomnak része F minden olyan pontja is ( akkor is, ha az egy olyan érintési pont, amelyik nem köthető össze érintősíkon fekvő egyenes szakasz segítségével F más pontjával ), amelyre érintősík illeszthető. Márpedig egy egyenes szakasz olyan végpontjára illeszthető lenne érintősík, amelyik kívül esne W idom Q felületén, mivel W nem lehet „konkáv” idom. Tehát nem lehetséges, hogy F valamelyik pontja kívül esik W idomon.

Tartalmazhat-e az így előállított W idom Q felülete szakadásokat vagy lyukakat ? Megpróbáltam egy indirekt bizonyítást, de az számos egymással összetett vagylagos viszonyban lévő esetre bontást jelentett volna, és az nagyon bonyolult ( levezethető ugyan, de minden esetre ki kell térni, különben rossz az indoklás, és az önmagában egy kb. másfél oldalas tömény agymunka ).

Indirekt bizonyítás helyett próbálkozom a következővel :

Minden térbeli idom „csomagolható” olyan zárt felülettel, amelyik az adott térbeli idomot magában foglalja. Tehát W idom köré is illeszthető olyan felület, amelyik Z idom K felülete és magában foglalja W-t. Legyen Z egy háromszög alapú gúla, amelyet négy darab háromszög határol. Előállítom Z-ből Z1 idomot úgy, hogy mindegyik oldalát az eredeti oldalakkal rendre párhuzamosan addig közelítem W-ig, míg el nem éri W egy-egy pontját. Négy ilyen érintési pont jön létre. Az előbbiek szerint Z1 háromszög alapú gúla mindegyik oldalának síkja párhuzamos az eredeti Z háromszög alapú gúla valamelyik oldalának síkjával. Ha elkészült Z1, keresek egy tetszőleges J1 pontot Q-n, amelyik nem része Z1 idom K1 felületének ( tehát az előbbi négy érintési pontnak sem ), és erre a J1 pontra illesztek egy érintősíkot. Az érintősík Z1-et két részre osztja : Az egyik rész tartalmazza W-t, ez legyen Z2 idom, a másik rész legfeljebb W egy pontját tartalmazza, J1-t ( ha az érintési pontot közös pontjuknak mondom. ) Az előállított Z2 idom K2 felülete folytonos, mivel egymást határoló síkidomokból áll és ezeket a síkidomokat folytonos síkok határozzák meg. Most veszem Q egy olyan J2 pontját, amelyik nem része Z2 idom K2 felületének, tehát a közös érintési pontjaiknak sem része. Erre a J2 pontra illesztek egy érintősíkot, amelyik Z2-t két részre osztja : Az egyik rész tartalmazza W-t, ez legyen Z3 idom, a másik rész legfeljebb W egy pontját tartalmazza, J2-t ( ha az érintési pontot közös pontjuknak mondom. ) Az előállított Z3 idom K3 felülete folytonos, mivel egymást határoló síkidomokból áll és ezeket a síkidomokat folytonos síkok határozzák meg.

Ha Q-ra véges számú érintősík illeszthető, akkor azok száma lehet akár 3 is, ekkor W egy háromszög alapú gúla és Q négy darab háromszögből áll.

Ha a fenti műveletet csak véges számban tudom elvégezni, akkor van egy olyan u pozitív egész szám, aminél több lépés már nem lehetséges. Ekkor Zu idomból nem állítható elő Zu+1 idom. Ez azt jelenti, hogy Zu egy olyan ( itt Ku-val jelölt ) f oldalú felülettel határolt idom, amelynek Ku felülete egybevágó Q-val és Zu egybevágó W-vel, ha Q folytonos. ( Q felület ekkor f darab síkidomból áll. ) (Ha ekkor Q nem lenne folytonos, akkor is f oldalú felülettel határolt idom lenne, amelynek feltevésünk szerint szakadt vagy lyukas lenne valamelyik oldala és amelynek véges számú csúcsa van, mivel újabb olyan érintősíkot nem tudnék Q tetszőleges pontjára illeszteni, amelyik nem volt része egy korábbi érintősíknak Zu előállítása során, feltéve, hogy újabb érintősík csak olyan lehet, amelyik Zu-t valódi két idomra osztja és nem egy idomra és egy pontra.)

Ha nincs ilyen u szám, aminél több lépés nem lehetséges, akkor a fenti műveletet végtelenül sokszor ismételve mindig kapok egy újabb idomot, amire igaz, hogy magában foglalja W-t és felülete folytonos. Mivel W alakja a fentebb leírtak szerint konvex, érintősíkokkal Q felülete minden határon túl közelíthető, mert nincs felületének egyetlen olyan pontja sem, amire illesztett érintősík W-t metszi, tehát minden egyes pontjára illeszthető érintősík.

Ha nincs olyan u pozitív egész szám, amire igaz, hogy Zu idomból a fenti eljárás segítségével nem lehet előállítani olyan Zu+1 idomot, amelyik az azt megelőző Zu-nál Q-ra jobban közelítő felületű idom, akkor u bármilyen értéke esetén Ju érintési pont előállítása után előállíthatok egy Ju+1 érintési pontot. Tehát az ilyen érintési pontok száma bármilyen nagy is, mindig (vég nélkül) találok újabb érintési pontokat. ( Mai szóhasználattal : az ilyen érintési pontok száma ekkor végtelen. )

Ekkor az is igaz, bármekkora is a W-t közelítő, a Z-ből előállított idom oldalainak száma, mindig (vég nélkül) találhatok olyan W-t jobban közelítő idomot, amelyiknek felülete még több síkidomból áll. ( Mai szóhasználattal : ekkor a W-t közelítő, Z-ből előállított idom oldalainak száma végtelen, és ezek az oldalak a fentiek szerint síkidomok. )

Vagyis : Bármely F térbeli alakzat ( vagy F térbeli idom ) „csomagolható” úgy egy Q felülettel, hogy a Q felület egyértelműen meghatároz egy W konvex térbeli idomot. A Q felületről nem tudom megmondani, hogy folytonos-e vagy sem. Q vagy véges számú lépésben közelíthető olyan K felülettel, amelyik síkidomokból áll és folytonos, vagy Q nem véges számú lépéssel minden határon túl közelíthető egy olyan K felülettel, amely síkidomokból áll és folytonos.

( Az indirekt bizonyítás megmutatná, hogy Q mindenképpen folytonos, de most inkább lemondok erről. )

Mivel az előbbi K felületről tudom, hogy folytonos, jobb bármilyen F térbeli alakzatot „csomagoló” W idomot „csomagoló” Z idomról beszélni, amelyik síkidomok által határolt idom.

Célravezetőnek tűnhet a „térfogatos tömörség” fogalmát első megközelítésben így bevezetni : Hogy bármilyen térbeli idomok vonalak és pontok valamilyen M alakzatát ( M térbeli alakzatot ) „becsomagolom” egy Q felülettel, amely egy W idomot határoz meg. Ha Q idomról nem tudom, hogy folytonos-e, akkor bevezetem a Q-t véges számú lépésben közelítő vagy nem véges számú lépésben minden határon túl közelítő K folytonos felületet és az általa meghatározott Z idomot, majd vagy a W, vagy a Z térfogatát számolom. Ha valamiféleképpen megszámlálható az adott M térbeli alakzat idomainak, vonalainak és pontjainak összessége ( M térbeli alakzat elemei ) , akkor azt a számot osztom W vagy Z térfogatával. Így minél nagyobb a korábbiak szerinti „térfogatos tömörsége” M alakzatnak, annál nagyobb számot kapok. Csakhogy ez önmagában kevés. Alkalmazom a fenti módszert azonos méretű egyenként G-vel jelölt gömbök M alakzatára. Legyen ez egy olyan alakzat, amely egy különálló gömböt tartalmaz, valamint tartalmazza a lapcentrált kockarács egy „hézagmentes” rétegét, „foghíjak” nélkül, azaz ennek a rétegnek mindegyik G gömbjére igaz, hogy a G gömbök P középpontjai egy síkon helyezkednek el, és ezek a P pontok egyenlő oldalú háromszögek csúcsain találhatóak. A különálló gömb legyen ráhelyezve egy olyan „lyukra” amelyiket a fenti réteg három gömbje határoz meg. Tehát a alkosson három másik G gömbbel közösen egy olyan tetraéder alakzatot, amelyikre az I. pontban adtam egy levezetést. Legyen egy T tetraéder az az idom, amelyet a fenti négy G gömb P középpontja határoz meg ( vagyis ha a gömbök középpontjait elnevezem P1, P2, P3, P4 pontoknak, akkor T tetraéder azonos a P1P2P3P4 idommal ). Ennek térfogata kiszámítható az alap (valamelyik egyenlő oldalú háromszög T négy oldala közül ) és T magassága segítségével. Legyen a különálló gömb a G1 jelű és annak középpontja a P1. Látható, hogy az egy rétegben található G gömbök P középpontjai olyan egyenlő oldalú háromszögeket határoznak meg, amelyek G1-el háromszög alapú ferde gúlákat alkotnak. Ezek mindegyikének térfogata azonos a T tetraéder térfogatával. Ha M alakzat helyett bevezetem az F alakzatot, amely a P pontokból áll, akkor F-re igaz az, hogy „csomagolható” egy olyan Q felülettel, amely síkidomokból áll, és egy W idomot határoz meg. Ennek a W idomnak a térfogata egyenlő az előbb leírt T tetraéder és az összes fenti egyenlő oldalú háromszög alapú ferde gúla térfogatának összegével. Látható az is, hogy egy síkban elhelyezkedő pontok nem határoznak meg térbeli idomot, ezért ekkor nincs értelme „térfogatos tömörségről” beszélni. Ez persze csak a P pontokra igaz, G gömbök egy rétegű elrendezése esetén – az eddigiek alapján - van értelme „térfogatos tömörségről” beszélni. Most számítással nem ellenőrzöm, hogy ha a négy G gömb P középpontjai egy síkra illeszkednek és két egymást határoló egyenlő oldalú háromszöget alkotnak ( ha egy G gömb átmérője D, akkor D oldalú háromszögek ezek ), ennek az alakzatnak „térfogatos tömörsége” nagyobb-e, mint ha az előbbi T tetraéder alakzat „térfogatos tömörsége”, amelyben távolságuk szintén D.

Egyrészt mindkét alakzat lapcentrált kockarácsos elrendezésű, másrészt az egyrétegű elrendezések esetére Simon Singh A Nagy Fermat sejtés című könyve szerint „1892-ben Axel Thue svéd matematikus bebizonyította a Kepler-probléma kétdimenziós megfelelőjét: egyetlen narancsrétegben – azaz ha narancsokat nem dobozba, hanem tálcára tesszük – a hatszögletes elrendezés a leggazdaságosabb.” Tehát egyrétegű elrendezésre van bizonyítás, elegendő olyan elrendezéseket vizsgálni, amelyekben a gömbök nem egy „réteget” alkotnak. Bármilyen négy azonos méretű G gömbre igaz, hogy a kölcsönös közelség követelményére legmegfelelőbb azok I. pont szerinti tetraéderes elrendezése, és ez akkor is így van, ha a „konvex csomagolásos” módszerrel meghatározott térközök térfogatösszege kisebb egy rétegű elrendezésnél, mint az I. pont szerinti tetraéderes elrendezés esetén ! Az I. pont levezetése szerint Kepler tételének követelménye alapján bármilyen egy rétegű alakzat kevésbé „sűrű”, mint olyan alakzat, amelyik több olyan rétegből áll, amelyek egymást határolják ( egymáshoz a lehető legközelebb elhelyezkednek el ), egymással párhuzamosak és lapcentrált kockarács elrendezésűek !

Másrészt olyan „egyéb kitételt” vezettem be az előbb, ami lehetetlenné teszi olyan G gömbök alakzatának vizsgálatát, amelyek gömbjeinek középpontja egy síkra illeszkedik. Ez az „egyéb kitétel” az, hogy A G gömbök P középpontjaira vizsgálom a „térfogatos tömörséget”, olyan feltétellel, hogy a P pontok egymástól mért távolsága legalább D. ( Ez a D távolságra vonatkozó feltétel viszont nem „egyéb kitétel”, mert egyenértékű a D átmérőjű G gömbök fogalmával. )

További „egyéb kitétel”, hogy csak olyan elrendezéseket vizsgálok, amelyekben a G gömbök középpontjai nem illeszkednek egy síkra. Ez az „egyéb kitétel” indokolt, mert egy rétegű elrendezésekre van bizonyítás.

Most nézzünk egy olyan M alakzatot, amelyiknél szintén van egy különálló G1 gömb és a többi G gömb szintén egy rétegben található lapcentrált kockarács elrendezést mutat, viszont ez az elrendezés legyen „foghíjas” egy tartományban. Pl. G1 közelében az eredeti M alakzatból kiveszünk kb. fél tucat G gömböt, és ezeket a lapréteg szélein helyezzük el, egy síkban a többi G gömbbel, de a lapcentrált kockarács elrendezésnek megfelelően. G1 gömböt pedig helyezzük el úgy, hogy annak P1 középpontja annyira közelíti a többi G gömb P középpontjaira illeszkedő síkot, amennyire csak lehetséges. Legyen F a P pontok által meghatározott alakzat. Ha P1 minden határon túl közelíti a azt a síkot, amelyre többi P pont illeszkedik, akkor az F alakzatra „csomagolt” Y konvex idom térfogata minden határon túl közelíti a nullát, ezért az F alakzat „térfogatos tömörsége” az általam tett fentebbi megközelítés alapján közelítené a végtelent.

( Persze ez nem lenne igaz a G gömbök által meghatározott alakzatra. )

Ez újabb „egyéb kitételt” jelent : M alakzat minden esetben legyen olyan, hogy a G gömbök P középpontjainak kiterjedése három egymásra merőleges irány mindegyikében legyen nagyobb, mint a négy G gömb által az I. pont szerint meghatározott T tetraéder magassága ( testmagassága ). Ez az „egyéb kitétel” nem védhető, ezért külön vizsgálni kell azokat az eseteket, amikor nem teljesül. (Tehát valójában ezzel két részre bontanám a bizonyítást.)

Ha tovább haladok ezen az úton, meg kell tudnom mutatni, hogy ha egy tetszőleges, azonos méretű egyenként G gömbökből álló M alakzat „tömörebbé” válik, akkor a fentiek szerinti „térfogatos tömörsége” is nagyobb lesz és fordítva: Ha egy ilyen M alakzat „térfogatos tömörsége” nagyobbá válik, akkor „tömörsége” nagyobbá válik. „Tömörség” alatt a II. pontban definiált fogalmat értem : Akkor „tömörebb” M alakzat, ha az azt alkotó G gömböknek az alakzat mértani középpontjától mért átlagos távolsága kisebb (vagy a G gömböknek az alakzat mértani középpontjától mért távolságainak összege kisebb).

Ha ezt a fenti tételt nem tudom bizonyítani ( például azért, mert nem igaz ! ), akkor bármilyen „térfogatos tömörség” alkalmazása „tömörség” megmutatására hibás módszer. A másik gond az „egyéb kitételek” feltűnően nagy száma. Mivel nem közvetlenül a közelség követelményét vizsgálom, „egyéb kitétel” alapján gömbök helyett a gömbök középpontjaira vonatkozó vizsgálat olyan „konvex” térbeli idomok létrehozását eredményezheti, amelyek „tömörsége” és „térfogatos tömörsége” közötti kapcsolat vizsgálata előre láthatóan számítások útján vagy újabb és újabb tételek felállítása és bizonyítása útján történhet. Ezzel a „térfogatos tömörség” vizsgálatát be is fejezem, mivel nem tartom célravezető módszernek.

IV. Ellenvetések a „térfogatos” módszerek kapcsán

Egy elképzelt vitapartner egészen váratlan érvekkel védené, a senki által még nem ismert, de létező elrendezését, amelyik „sűrűbb” a lapcentrált kockarács elrendezésnél :

1. Az általa készített elrendezés olyan alap alakzatokból áll, mint pl. a szerves molekulák, ezek mindegyikére megmutatható talán, hogy nem „sűrűbb” valamiféle „tetraéderes” elrendezésnél, de ezek valamiféle kombinációja „sűrűbb” bármilyen „tetraéderes” szerkezetnél

2. Az általa készített elrendezés nem feltétlenül mutat ismételhető elemeket, mint pl. egy kristályrács ( hogy vannak-e benne ismétlődő elemek, az a vitapartner titka )

3. Az általa készített elrendezés az összetevők valamiféle konstellációja esetén mutat „sűrűbb” képet, mint a lapcentrált kockarács, tehát „sűrűsége” nem független az alakjától ( pl. egy, az összetevők méretéhez mérve ) nagy kiterjedésű „kifli” ez az alakzat, ezért nem elfogadható számára az olyan „csomagolástechnika”, amelyik ezt a rendkívül tömör kiflit konvex W térbeli idommá „hízlalja”

4. Az általa készített elrendezés csak egy bizonyos mérettartományban tud „sűrűbb” lenni, mint a lapcentrált kockarács, például bizonyos mérettartomány felett ( vagy alatt ) már nem „sűrűbb” a lapcentrált kockarácsnál

5. Az általa készített alakzatban a „sűrűbb” és „kevésbé sűrű” részek nem alkotnak könnyen ( pl. síkokkal ) elkülöníthető tartományokat elrendezésén belül, ezért nem lehet olyan „konvex” tartományt kimetszeni ebből az alakzatból, amelyik tartománynak az átlagos sűrűsége eléri vagy meghaladja az alakzat átlagos sűrűségét

Beláthatóan a legegyszerűbb, ha komolyan veszem a fenti észrevételeket ( persze ezek az én észrevételeim ! ) akkor is, ha egyenként cáfolhatóak lennének, vagy lenne olyan bizonyítás, amelyik nem cáfolja az adott pontban foglaltakat, hanem igaz arra az esetre is. Jobb olyan utat választani, amelyen nem kell a fenti pontokban foglaltakkal bajlódnom.

Az 1. pontot úgy tudom megválaszolni, hogy ha az adott – azonos méretű gömbökből álló – alakzat egészét vizsgálom, akkor olyan módszert alkalmazok, amelynél nincs jelentősége kisebb részalakzatok térbeli kiterjedésének. ( De a részalakzatot vizsgálhatom a közelség követelménye alapján, térbeli kiterjedését nem tekintve ! ) Ha ezek a részalakzatok úgy illeszkednek egymásba, hogy az alakzat egésze „sűrűbb”, mint egy „hézagmentes” lapcentrált kockarács alakzat, az a vizsgálat során úgyis kimutatható.

A 2. pontra hasonló válasz adható : Olyan módszert kell alkalmazni, amelyik szempontjából nincs jelentősége annak, hogy vannak-e ismétlődő kisebb-nagyobb részalakzatok a vizsgált alakzat egészében.

Ha nem alkalmazok semmilyen „térfogatos” módszert ( „konkáv csomagolást” vagy „konvex csomagolást” ), akkor a 3. pont igaz is lehet. ( Mivel az V. pontban lesz térfogatos módszer, erre a 3. pontra még visszatérek. )

A 4. pontra való tekintettel olyan módszert kell alkalmazni, amelyik szempontjából a vizsgált alakzat mérete illetve gömbjeinek száma nem lényeges. Ha a négynél kevesebb gömbből álló alakzatokra nem jó a módszer, akkor az ilyen alakzatokat külön vizsgálni kell, de ez már „egyéb kitételt” jelenthet.

Ha nem alkalmazok „térfogatos” módszereket, akkor az 5. ponttal sincs gond, mivel nem akarok részalakzatok „konvex csomagolásával” foglalkozni. ( Egyébként belátható, hogy az 5. pont igaz lehet, ha „térfogatos sűrűséggel” vagy „térfogatos tömörséggel” próbálkozom ! Mivel az V. pontban lesz térfogatos módszer, az 5. pontban leírtakra is visszatérek. )

V. Egy könnyű részleges levezetés

( Néhány személyes megjegyzés : Nem célom bizonyítást adni Kepler tételére, mivel az előre láthatóan meghaladja képességeimet és lehetőségeimet. Túl sok időmet vette el a téma másfél hónap alatt, a későbbiekben ezt a pontot fogom időről időre tovább írni, de más témák elé a továbbiakban nem helyezem Kepler tételét. Számomra nehezebb feladatoknál néha a hibáimon keresztül haladok előre. Hogy miért, azt itt nem fejtem ki.- Ez itt nem kivitelezői munka vagy befejezett cikk ! - Éppen ezért ebben a pontban előfordulhatnak időnként nem szándékos hibák, amik „kifésülés előtt” felkerülnek erre a lapra. Aki érti, amit írok, az úgyis felfedezi a hibát, aki pedig nem érti, az jobban teszi, ha ezzel a „dolgozattal” nem bajlódik. A későbbiekben egyhetes „emésztés” és ellenőrzés után teszek fel minden újabb részt. )

Mivel nem célom „teljes körű” vagy „jó” bizonyítással bajlódni, megelégszem először az I. pont gondolatmenetének folytatásával. Az I. pont levezetéséből következik, hogy ha egy azonos méretű egyenként G-vel jelölt gömbökből álló M alakzaton belül van olyan négy G gömbből álló R alakzat, amelynek gömbjei a lehető legközelebb állnak egymáshoz, de ez a négy gömb nem alkot olyan tetraéder alakzatot, amilyenre az I. pont levezetése vonatkozik ( vagyis R gömbjeinek bármelyike nem érinti a másik három gömböt ), akkor M alakzat nem lehet gömbjeinek lehető „legsűrűbb” elrendezése ( pontosabban : olyan elrendezése, amelyik a közelségi követelménynek leginkább megfelel ) az I. pont közelségi követelménye szerint, hiszen R alakzat része M alakzatnak, de R alakzatra nem teljesül a lehető legnagyobb kölcsönös közelségre vonatkozó követelmény. Tehát itt az előbbi „sűrűség” kifejezés nem „térfogatos sűrűséget” ( ez a szó eredeti értelmében vett „sűrűség” ! ), hanem közelségi követelmény alapján megfogalmazott „sűrűséget” jelent. Ezt a fogalmat még nem definiáltam, nem is szükséges, mivel a közelséggel megfogalmazható az előbbi állítás. Egy ilyen „sűrűség” például azt jelentheti, hogy az alakzat akkor a lehető „legsűrűbb” a közelség követelményei szerint, ha részei a lehető legközelebb vannak egymáshoz. ( A bevezetőben leírt nézetem miatt axiómákkal nem bajlódom. Az előbbi R részalakzattal megfogalmazott állítás éppen egy axióma. - Nézetem szerint ! Persze lehet axiómából „egy lépésben” következő igazság is, csak ezt nem veszem észre. A továbbiakban a fenti állítást egyelőre igaznak veszem, és „igazságnak” nevezem, azt nem vizsgálom, hogy valóban axióma-e vagy hogy hamis-e.)

( Korábbiak alapján egyértelmű, hogy mit értek az alatt, hogy R alakzat gömbjei a lehető legközelebb állnak egymáshoz. Ennek ellenére pontosabban is megfogalmazom : R alakzat része M alakzatnak és a G1, G2, G3, G4 gömbökből áll. A G1 gömb középpontja legyen P1, G2 gömb középpontja P2, G3 gömb középpontja P3, G4 gömb középpontja P4. A P1, P2, P3, P4 középpontok távolságösszege a lehető legkisebb, vagyis nem létezik az M alakzaton belül olyan tetszőlegesen kiválasztott G gömb – G5-el jelölöm – amire igaz, hogy annak P5 középpontjának a P1,P2,P3,P4 középpontok közül tetszés szerint kiválasztott három másik középponttal – például P1,P2,P4 középponttal – mért távolságösszege kisebb, mint a P1,P2,P3,P4 pontok távolságösszege. Másképp fogalmazva : Ha az előbbiek szerint R alakzat négy gömbjéből éppen G1,G2,G4 gömböt választom ki és a negyedik gömb az előbbi G5 gömb, akkor a P1P2, P1P3, P1P4, P2P3, P2P4, P3P4 távolságok összege kisebb, mint a P1P2, P1P4, P1P5, P2P4, P2P5, P4P5 távolságok összege. G5 lehet bármelyik gömbje az M alakzatnak, ha nem azonos G1, G2, G3, G4 gömbök egyikével sem. R alakzat G1,G2,G3,G4 gömbje közül tetszőlegesen bármelyik hármat választom is ki, G5 gömbbel a kiválasztott három gömb nem alkot olyan négyes alakzatot, amelyiknek gömbjei a lehető legközelebb állnak egymáshoz.)

Olyan R alakzatot viszont nem találhatok semmilyen előbbiek szerint meghatározott M alakzaton belül, amelyikben az I. pontban foglalt levezetésben említett D távolságnál közelebb lennének a G gömbök P középpontjai egymáshoz. ( D a G gömb átmérője. ) Lehetetlen úgy „sűríteni” M alakzatot, hogy azon belül olyan négy gömbből álló részalakzatot állítok elő, amelyben a négy G gömb P középpontjainak távolságösszege kisebb 6*D-nél.

Sem a közelség tárgyalásakor, sem a „sűrűség” fogalmainál nem adtam definíciót „közelségi sűrűségre”. Ennek oka az a szándék volt, hogy a közelség fogalmával lehessen vizsgálni alakzatokat, olyan definíciók kerülésével, amelyek „egyéb kitételt” vagy fogalomzavart jelenthetnek. Ebben a pontban meg kell majd kísérelnem a definíció megfogalmazását. A „közelségre törekvés rendező elve” fizikai fogalom, nem tiszta, hogy a matematika alapfogalmaiból következhet-e. ( Egy személyes megjegyzés : Jól emlékszem arra, amikor 17-én reggel Boross Lajos mintegy mellékesen - egyéb téma mellett – éppen az előző mondatban foglaltakat fejtette ki Bochkor Gábornak reggeli rádióműsorukban. ) Az sem jó érv, hogy egy ilyen „rendező elv” csupán egy „ártalmatlan” „egyéb kitételt” jelent, mivel attól függően, hogy hogyan határozom meg ezt a „rendező elvet”, más-más elrendezések mutatkozhatnak közelség szempontjából a „legsűrűbbnek”. A „térfogatos sűrűséggel” való bármilyen megerősítés sem lenne bizonyítás, ha csupán azt jelenthetné, hogy az ismert elrendezések közül éppen ugyanaz a „legsűrűbb”, „térfogatos sűrűsége” számításával is. (Vagyis : Ha a „rendező elvet” lapcentrált kockarács elrendezések vizsgálata után fogalmaznám meg, akkor az sem lenne váratlan, ha a lapcentrált kockarács elrendezés bizonyulna közelségi követelmények alapján a „legsűrűbb” elrendezésnek, valamiféle „térfogatos sűrűség” számításával pedig ezt az eredményt nem lenne nehéz megerősíteni.)

A folytatás kissé meglepő : Legyen az azonos méretű, egyenként G-vel jelölt gömbök száma nyolc. Ezek közül négy alkosson az I. pontban leírt tetraédert. A másik négy illeszkedjen a tetraéder alakzat három-három gömbjéhez úgy, hogy újabb tetraéder alakzatokat alkot. Belátható, hogy hasonló módszerrel az alakzat nem építhető tovább. Az alakzat hasonló, mint a lapcentrált kockarács elrendezés, de nem az. Az I. pontban leírt közelségi követelmény alapján az is hihető, hogy „sűrűbbnek” kellene lennie. Igaz, hogy „térfogatos sűrűsége” kisebb, mint nyolc azonos méretű gömbből álló lapcentrált kockarács elrendezésű alakzaté. ( Ezt könnyű számítás nélkül ellenőrizni : az egyszerűség kedvéért csak a gömbök középpontjai által meghatározott térbeli idomokat tekintem. Az előbbi alakzatban a gömbök középpontjai öt darab D oldalú tetraédert határoznak meg, D egy gömb átmérője, és ekkor nem veszem figyelembe azokat az idomokat, amelyeket az egymástól távolabb álló gömbök középpontjai határoznak meg. Nyolc darab előzőekkel megegyező nagyságú gömbből álló lapcentrált kockarácsos alakzat lehet olyan, amelyiknek középpontjai három D oldalú tetraédert és egy D oldalú négyzet alapú gúlát határoznak meg. Ez az előbbi „öt tetraéderes alakzaténál” kisebb térfogatot jelent, nyolc gömbre, tehát „sűrűbb” a lapcentrált kockarácsos alakzat.)

A közelséggel kapcsolatos fenti ( általam axiómának tekintett ) „igazságnak” az előbbiek nem mondanak ellent. Ha az előbbi nyolc gömböt két különálló tetraéder alakzatba helyezem, az ilyen két tetraéder alakzatból álló teljes alakzat megfelel a fenti „igazságnak”. Az ellentmondó eredmény oka a fordított gondolkodásból ered : A közelségből következő előbbi „igazság” csak azt mondja ki, hogy milyen alakzat nem lehet összetevőinek „legsűrűbb” elrendezése közelségi követelmény alapján. Arra nem ad „utasítást”, hogy a nyolc gömböt éppen öt egymást határoló tetraéder alakzatban helyezzem el. Viszont a közelség követelménye alapján „jónak tűnik” az „öt tetraéderes” alakzat. ( Mert a tetraéderek egymást határolják, tehát a lehető legközelebb vannak egymáshoz. ) A hiba abban van, hogy az alakzat felépítésekor csak az volt szempont, hogy minden gömb tetraéder alakzatba kerüljön és lehetőleg egybefüggő legyen az alakzat. De nem volt szempont például a kisebb térfogatra törekvés, vagy hogy az alakzatot alkotó gömbök egymáshoz mért távolságainak összessége a lehető legkisebb legyen. A távolságok összeszámolása a fenti két alakzatnál jó módszer lehetne egy közelség alapján, átlagos távolságokkal megadott „sűrűség” fogalom kipróbálására, de egyelőre ezzel az iránnyal nem foglalkozom. A kisebb térfogatra törekvés nem lehetetlen módszer, de legalább egy „egyéb kitételt” jelent.

Pontosabban kettőt :

• Az azonos méretű gömbökből álló alakzat olyan részalakzatait vizsgálom, amelyek az alakzat belsejében találhatóak, ezen részalakzatokat alkotó gömbök nem részei az egész alakzat határait bármilyen módon meghatározó gömböknek. Tehát semmilyen, az alakzat egészére alkalmazott „konkáv csomagolástechnika” vagy „konvex csomagolástechnika” nem érinti a vizsgált részalakzatokat, mert azok „jóval az alakzat határain belül” találhatóak.

• A részalakzatot alkotó gömbök középpontjai által meghatározott idomokat vizsgálom, mert azok térbeli határai egyértelműek és könnyen előállíthatóak, így „térfogatos sűrűségük” könnyen vizsgálható. Tehát nem veszem figyelembe, hogy a gömbök mekkora része esik kívül ezen térbeli idomok által meghatározott teljes idom határain. Viszont ha ismétlődő elemekből áll a részalakzat, akkor nagy számú gömbből álló részalakzatot vizsgálhatok.

Adható egy harmadik is :

• Az előbbi idomokból álló „teljes idom” konvex legyen, mert így könnyebben összevethető más, azonos számú gömb által meghatározott alakzattal, amelyiknél szintén elvárás a konvex alak. A „teljes idom” kifejezés alatt a továbbiakban a gömbök középpontjai által meghatározott legkisebb idomokból ( tetraéderekből és egyéb idomokból ) álló összetett idomot értem.

Az előbbi vizsgálat a két nyolc gömbből álló alakzatokra az itt leírt első két „egyéb kitétel” segítségével történt. Ennél a módszernél a továbbiakban minden vizsgált alakzat egy feltételezett nagyobb alakzat részalakzata, ezért nem használom a „részalakzat” kifejezést. Egyszerűen alakzatnak nevezem ezeket. Észrevehető, hogy ha gömbökből egyenként építem fel az alakzatot, akkor az lehet az egyik cél, hogy minél kevesebb D oldalú tetraéder álljon elő. Csak olyan elrendezéseket kell vizsgálni, amelyekben D oldalú tetraéderek vannak ( D egy gömb átmérője ), hiszen a közelségre vonatkozó „igazság” ezt megköveteli. Ha az első D oldalú tetraéder ( továbbiakban : tetraéder vagy D oldalú tetraéder ) előállítása után minden újabb gömb egy-egy újabb tetraédert eredményez, akkor előre láthatóan túl nagy lesz az előállított konkáv „teljes idom” térfogata, a konvex „teljes idomé” pedig nagyobb. A fenti nyolc gömbből álló alakzat, amelyben egy tetraédert négy másik tetraéder vesz körül, éppen ilyen alakzat volt. Ezzel szemben például lehetne úgy előállítani tetraédereket, hogy lehetőleg minél kevesebb tetraéder álljon elő, például minden négy gömb alkosson egy-egy, más tetraéderektől különálló tetraédert. Persze különálló tetraéderek csúcsai között legalább D távolságnak kell lennie, általánosságban minden nem csúcsnak legalább D távolságra kell lennie minden más csúcstól ! ( Mivel egy csúcs egy gömb középpontját jelenti. ) Ennél jobb lehet az az eset, amikor egyes tetraéderek csúcsai illeszkednek egymásra (összeérnek). Ilyen elrendezéseknél viszont nagy lehet az egymástól távolabb álló gömbök középpontjai közötti idomok térfogata, ezeket konvex „teljes idomok” vizsgálatakor figyelembe kell venni. A lapcentrált kockarács elrendezés olyan, amelyben az egyes D oldalú tetraéderek élei illetve egyes D oldalú tetraéderek csúcsai illeszkednek egymásra. Ez „kompromisszumnak” tűnik a D oldalú tetraéderek lehető legkisebb száma és a lehető legkevesebb és legkisebb egyéb előálló idom szempontjai között. ( A lapcentrált kockarács az előbbi „egyéb kitételek” terminológiája szerint D oldalú tetraéderekből és D oldalú négyzet alapú gúlákból áll, ez utóbbiak pedig nem egyértelműen felbonthatóak két-két egyenlő oldalú háromszög alapú gúlára. )

A közelség fenti „igazságát” felhasználva építhetek úgy alakzatokat, hogy minden gömb középpontja legyen része egy D oldalú tetraédernek és az alakzat egésze legyen egybefüggő ( nem osztható kettő vagy több olyan alakzatra, melyek egymást nem érintik ), ugyanakkor az előálló D oldalú tetraéderek száma legyen a lehető legkisebb ( mert a legkisebb térfogatra törekszem, ez a D oldalú tetraéderekből álló alakzat alakjától függően lehet konkáv „teljes idom” térfogata is).

Egyre növekvő számú gömbből álló alakzatokat vizsgálhatok. Hat gömbig nincs választási lehetőség. Hét gömb alkothat két olyan tetraédert, melyeknek közös a csúcsa. Nyolc alkothat három olyat, amelyek közül kettőnek egy közös oldala van, a harmadiknak pedig ezek egyikével közös csúcsa, vagy alkothat három olyan tetraédert, amelyeknek van egy-egy közös éle (ekkor egy négyzet alapú gúlát is meghatároznak, ha van egy-egy olyan oldala a tetraédereknek, amelyik ez síkra illeszkedik, de ezt nem kell figyelembe vennem, ha konkáv „teljes idomot” vizsgálok ). Nyolc gömbig éppen lapcentrált kockarácsos alakzatokat állítok elő. Kellő türelemmel bármilyen darabszámig elmehetek, előre láthatóan a legkisebb térfogatú konkáv teljes idom előállításának elve ( vagyis a lehető legkisebb tetraéderszám elve ) mindig az előbbiek szerinti – tehát néha nem teljesen szabályos - lapcentrált kockarácsos elrendezést fog eredményezni. Ez még nem részleges bizonyítás, de bíztató kezdet. (Ha a párhuzamosság feltétele nem teljesül, akkor „egymásba fordulhatnának” a tetraéderek, lehetetlenné téve nagyobb alakzatok előállítását. Később visszatérek arra, hogy ez valóban feltétel-e !)

Az egybefüggő alakzat követelménye „egyéb kitétel” akkor, ha nem következik a matematika alapfogalmaiból és alapigazságaiból. Ilyen alapigazság lehet a fenti közelséggel kapcsolatos „igazság”. Ha a gömbök helyett négy gömb középpontja által meghatározott D oldalú tetraédert tekintek, akkor ezen D oldalú tetraéderekre is igaz a közelség követelménye és éppen ezért a fenti közelség követelményéből adódó „igazsághoz” hasonló igazság fogalmazható meg : Nem lehet gömbjeinek – közelség követelménye alapján - „legsűrűbb” elrendezése egy alakzat, ha nem egybefüggő, azaz kettő vagy több olyan részalakzatra bontható, amelyek nem érintik egymást. A D oldalú tetraéderek (tetraéderek) előállításának módja ( helye ) függ a gömbök számától, ezért a közelség követelménye annyiban tud érvényesülni, hogy a D oldalú tetraéderek mindenképpen érintsék egymást legalább egy-egy pontban (csúcsban) vagy legyen egybevágó élük vagy oldaluk. Ez így nem matematikai bizonyítás, de magában foglalja a lényeget.

A lehető legkisebb tetraéderszámból még nem következik a lehető legkisebb térfogatú konvex „teljes idom” létrehozása, holott az lenne bizonyító erejű. Ezt később vizsgálom.

Az előbbi módszert megismételhető azzal a különbséggel, hogy elhagyom azt az „egyéb kitételt”, amelyik szerint egy alakzat belsejében található részalakzatot vizsgálok. Ez gondot okozhat, hiszen az alakzat gömbjeinek vannak olyan részei, amelyek kívül esnek középpontjaik által meghatározott idomok összességén ( a „teljes idomon” ). De a konvex „teljes idom” külső határait tekinthetem olyan idom külső határainak, melynek térfogatát vizsgálom. Hasonlóan előállíthatok valamilyen szabály szerint olyan konkáv „teljes idomot” is, amelyik nem csak a D oldalú tetraéderekből ( tetraéderekből ) áll, és annak térfogatát vizsgálhatom. Az ilyen módszerek nehezebben védhetőek, tekintve például a konvex „teljes idom” esetleges nagy belső térközeit, melyek szintén részei a „teljes idomnak”, vagy tekintve olyan konkáv „teljes idom” előállítását, mely valamilyen szabály alapján tartalmaz egyes idomokat, míg más előálló idomokat nem. Viszont részleges bizonyításhoz jók lehetnek ezek a módszerek is.

Megjegyzem, hogy a tetraéderek előállításánál elegendő egy szabály is : a lehető legkisebb tetraéderszám érdekében a tetraéderek lehetőleg csúcsaikban érintsék egymást ( két szomszédos, egymással párhuzamos lapréteg gömbjeinek csúcsai által meghatározott két szomszédos párhuzamos sík közötti tartományon belül ! - hiszen ennek a tartománynak azaz a két síknak a túloldalain állhatnak éppen úgy a tetraéderek, hogy egy-egy oldaluk közös a tartományon belüli tetraéderekkel ). Ekkor az éleikkel egymást érintő tetraéderek helyenként kiadódnak a gömbök számától függően. A máshoz nem elhelyezhető gömböket pedig úgy kell elhelyezni, hogy középpontjaik mindenképpen tetraédert alkossanak más gömbök középpontjaival, tehát ezekre nem érvényes az előző két mondatban leírt szabály, ezért az alakzat egyes esetekben lehet nem tökéletes lapcentrált kockarács elrendezésű. ( Viszont lehet az, ha úgy építem az alakzatot, hogy az előbbi két párhuzamos sík által határolt tartományból kilépve minden tetraéder éppen egy-egy oldalával határolja az az említett tartományon belüli tetraéderek valamelyikét. Korábban volt szó arról, hogy a lapcentrált kockarács szerkezet három egymást határoló egymással párhuzamos rétege többféleképpen állhat egymáshoz képest. Létezik olyan elrendezésük, amikor az egy síkra két oldalról egy-egy oldalukkal illeszkedő tetraéderek páronként egy-egy közös oldalukkal illeszkednek egymáshoz. ) A „párhuzamosság követelménye” valójában szintén kiadódó sajátosság, hiszen nem állhatna össze az alakzat, ha nem rendeződnének párhuzamos síkok mentén a tetraéderek. Ez más megfogalmazásban azt jelenti, hogy kisebb gömbszám esetén „ki tud fordulni” egyik-másik tetraéder a lapcentrált kockarács szerkezet által meghatározott rácspontokról, de nagyobb gömbszám esetén ezt egyre nehezebben teheti meg, ha a közelében már több tetraéder van. Ha egy tetraéder „kifordul” előbbiek szerint a helyéről, azaz oldalainak egyike sem párhuzamos szomszédos tetraéderek oldalaival, akkor egyes esetekben nagyobb térfogatú konvex „teljes idom” adódhat. Ha minél kisebb térfogatú konvex „teljes idomot” akarok előállítani, nem jó módszer egy irányban építeni az alakzatot, illetve az előbb említett két szomszédos lapréteg gömbjeinek középpontjai által meghatározott két párhuzamos sík közötti tartományon belül maradni, mivel ekkor akár minden második alkotó idom lehet D oldalú négyzet alapú gúla.

Budapest, 2007. 01. 14.

Az ilyen színnel jelölt megjegyzések és kiegészítések dátuma :

Budapest, 2007. 01. 20.

A fenti részleges levezetés összegzése

• Négy azonos méretű gömb a közelség követelménye alapján olyan D oldalú tetraéder alakzatban van egymáshoz kölcsönösen a legközelebb, ahol a D oldalú tetraéder csúcsaira illeszkednek a gömbök középpontjai és D egy gömb átmérője

• Nem elehet azonos méretű gömbökből álló alakzat összetevőinek közelség követelménye alapján legjobb elrendezése (amelyben a közelség követelménye maradéktalanul teljesül !), ha van olyan négy gömb az alakzaton belül, amelyek kölcsönösen egymáshoz a lehető legközelebb helyezkednek el, de nem alkotnak az előbbi D oldalú tetraédert középpontjaik – legyen a négy gömb alakzata R - és ezen négy gömb egyike sem alkot az R alakzaton kívüli gömbökkel egy olyan négyes csoportot sem, amelyen belül kölcsönösen közelebb van egymáshoz a négy gömb, mint R alakzat gömbjei – ez a pont vitatható, mert olyan „igazságot” fogalmaztam meg benne, ami adott, meghatározható térfogattal rendelkező teljes térbeli alakzat részalakzatára vonatkoztatva nem látszik helytálló állításnak, ha térfogat alapján sűrűséget számítok

• A gömbök középpontjai által meghatározott D oldalú tetraéderekre is igaz a közelség követelménye, ezért nem lehet azonos méretű gömbökből álló alakzat a közelség követelménye alapján legjobb vagy a lehető „legmegfelelőbb” ( amely a közelség követelményének a lehető legteljesebb mértékben eleget tesz ), ha a D oldalú tetraéder alakzatok olyan kettő vagy több részalakzatot alkotnak az alakzaton belül, amelyek nem érintik egymást egy pontban sem ( tehát éppen ezért ez megfogalmazható ugyanígy a gömbök által alkotott részalakzatokra is : nem lehet egy D átmérőjű gömbökből álló alakzat közelség követelménye alapján a lehető „legmegfelelőbb” ( amely a közelség követelményének leginkább eleget tesz ), ha van olyan kettő vagy több részalakzat az alakzaton belül, amelyek nem érintik egymást egy pontban sem ) - az előbbi okbók ez a pont is vitatható

• Ha az a cél, hogy minél kisebb tényleges térfogatot alkosson a D oldalú tetraéderek összessége ( tehát ekkor nem tekintem a D oldalú tetraéderek térközei által előálló egyéb térbeli idomokat ), akkor ennek a szempontnak olyan alakzat felel meg leginkább, amelyben a lehető legkisebb D oldalú tetraéder szám áll elő ugyanarra a gömbszámra

• Ha megpróbálok a fenti négy pont alapján alakzatot építeni, az lapcentrált kockarács szerkezetű alakzatot eredményez, vagy olyan alakzatot, amelyen belül a D oldalú tetraéderek „beforgathatóak” a lapcentrált kockarács szerkezet által meghatározott helyükre

Megjegyzem, hogy a Kepler probléma nem merülhet ki egy teljes körű és teljes valamint egy részleges bizonyításban. (Az V. ponttal nem ez az egyedüli célom, egyébként sem látszik számomra elérhető célnak jó bizonyítás önálló megadása.) Ha sikerülnének is az előbb említett bizonyítások, akkor is keresni kell újabb módokat a bizonyításra, továbbá a Kepler probléma alapján a matematika egy olyan területe tárható fel, amellyel feltehetően régóta sok matematikus foglalkozik, mivel nagyon „izgalmas” téma. ( Számomra nem annyira az, de persze az is lehetne, ha más nem érdekelne jobban. )

Van más terület is, amellyel szoros kapcsolatban van a Kelper probléma : Például megfogalmazható két fontos tétel ( én igaznak érzem őket, talán már van is rájuk bizonyítás, algoritmusokkal próbálkoztam, de egyelőre feladtam a tételek bizonyítását, mert időt vettek volna el ) :

• Diszkrét pontok bármilyen síkbeli alakzatából egymást határoló háromszögek alakzata állítható elő. A háromszögek által meghatározott teljes síkidom felbontása háromszögekre nem mindig egyértelmű.

• Diszkrét pontok térbeli alakzatából, ha a pontok mindegyike nem illeszkedik ugyanarra a síkra, egymást határoló háromszög alapú gúlák alakzata állítható elő. A háromszög alapú gúlák által meghatározott teljes térbeli idom felbontása háromszög alapú gúlákra nem mindig egyértelmű.

( Ha netán egyetemista vagy középiskolás téved erre a lapra : A fenti szöveg csaknem egészét és ezt a weblapot OpenOffice.org Writerben írtam ! )

Budapest, 2007. 01. 21.

Héder Gábor